د همراه متحول سره د واریانس تحلیل (ANCOVA)
ډلې په یو تړلي متحول (dependent variable) کې پرتله کېږي، او په ورته وخت کې یو داسې متحول په پام کې نیول کېږي چې له درملنې مخکې اندازه شوی – اکثره د همغه متحول "مخکې" اندازه ګیرنه. په هغه څېړنه کې چې تصادفي وېش (random assignment) لري، دا تېروتنه کموي او ازموینه پیاوړې کوي؛ کله چې ډلې له مخکې سره توپیر ولري، دا پخپله پرتله هم بدلوي، او بیا احتیاط پکار دی. دا پاڼه ANCOVA د یو یا دوو عاملونو او تر درېیو همراه متحولونو (covariates) پورې ترسره کوي: د میلونو د همجنسۍ ازموینه، د III ډول جدول، میل، سمون شوي اوسطونه، د Bonferroni سره جوړه ییزې پرتلې (pairwise comparisons)، د اغېز اندازې (effect sizes) او ګراف – د APA په بڼه جدولونو، په پښتو او انګلیسي د موندنو پاراګراف، Word، د SPSS سینټکس (syntax) او د R سکریپټ سره.
د معلوماتو پورته کول
ستونونه مستقیم له پاڼې څخه (د سرلیکونو د کتار په ګډون) پېسټ کېږي – په اکسل کې په نښه کېږي، کاپي کېږي او دلته پېسټ کېږي:
د متحولونو ټاکل
کله کارول کېږي؟
کله چې د ډلو اوسطونه پرتله کېږي (لکه په یو لاریز د واریانس تحلیل (one-way ANOVA) کې)، او یو بل پرله پسې متحول (continuous variable) شته چې له تړلي متحول سره اړیکه لري – همراه متحول (covariate؛ پخوا په انګلیسي کې concomitant variable بلل کېده، "هغه متحول چې د څېړنې له اصلي موضوع سره یوځای راځي" – Maxwell et al.، 2018، مخ 452؛ "د کنټرول متحول" هم بلل کېږي). عامه بېلګه: هغه ازمایښت چې مخکې او وروسته اندازه ګیرنه لري – پرتله د "وروسته" په نمره کې ده، او د "مخکې" نمره همراه متحول دی (Pallant, 2020, Chapter 22; Field, 2024, Section 13.5.1). ANCOVA یو خطي ماډل دی چې هم کټګوریک (categorical) عامل او هم پرله پسې وړاندوینوونکی (predictor) لري (Field, 2024, Section 13.3). کله چې د همغو ګډونوالو څو اندازه ګیرنې وي او پوښتنه پخپله بدلون وي – د تکراري اندازه ګیرنو (repeated measures) لپاره ANOVA.
منطق: موازي کرښې
ماډل هرې ډلې ته د تړلي متحول پر همراه متحول (covariate) باندې د رګرسیون کرښه (regression line) برابروي – د ټولو ډلو لپاره په همغه میل، د ډلو دننه ګډ میل (bW) – او ازمویي چې آیا دا موازي کرښې په بېلابېلو لوړوالیو کې دي (Maxwell et al., 2018, pp. 463-466). تېروتنه د هر ګډونوال انحراف د خپلې ډلې له کرښې څخه دی، نو کله چې همراه متحول ښه وړاندوینه کوي، تېروتنه د عادي د واریانس تحلیل (ANOVA) په پرتله ډېره کوچنۍ وي. د Maxwell او همکارانو په کوچنۍ بېلګه کې، د تېروتنې د مربعاتو مجموعه (sum of squares) له 28 څخه 12 ته راټیټېږي (هماغه ځای، مخ 467-468). په هغه د خپرو ټکو ګراف (scatter plot) کې چې پاڼه یې رسموي، دا په مستقیم ډول لیدل کېږي.
سمون شوي اوسطونه
د یوې ډلې سمون شوی اوسط د هغې د کرښې لوړوالی د همراه متحول (covariate) په عمومي اوسط کې دی: Ȳ′j = Ȳj − bW(X̄j − X̄) (Maxwell et al., 2018, Equation 9.27, p. 469). هغه ډله چې په همراه متحول کې لوړه پیل شوې د کرښې په اوږدو "ښکته ځي"، او هغه ډله چې ټیټه پیل شوې "پورته ځي" – سمون "د رګرسیون (regression) د کرښې په اوږدو د اوسط ښویول" دی (هماغه ځای، مخ 471). د عامل F ازموینه د سمون شویو اوسطونو ترمنځ توپیرونه ازمویي، نو هغوی تفسیرېږي نه خام اوسطونه (Field, 2024, Section 13.7.2). د Maxwell او همکارانو په بېلګه کې: له درملنې وروسته د خپګان اوسطونه 7.3، 12.2 او 14.0، او سمون شوي 7.54، 11.98 او 13.98 (2018، مخ 483-484) – پاڼه همغه شمېرې ورکوي.
له تصادفي وېش (random assignment) سره او پرته له هغه
کله چې ډلې په تصادفي ډول وېشل شوې وي، په همراه متحول (covariate) کې په اوسط ډول سره برابرې وي، او د ANCOVA اصلي ونډه د تېروتنې کمول دي – پیاوړې ازموینه او تنګ د باور واټنونه (confidence intervals)، په داسې حال کې چې سمون شوي او خام اوسطونه همغه توپیر اټکلوي (Maxwell et al., 2018, pp. 454-455, 471). حتی که په تصادفي ډول ډلې په همراه متحول کې لږ توپیر ولري، ANCOVA غوره ده (هماغه ځای، مخ 476).
کله چې ډلې له مخکې شتون ولري – ټولګي، ښوونځي، هغه څوک چې پخپله یې د ګډون پرېکړه کړې – سمون کولای شي پایله بدله کړي او حتی سرچپه یې کړي. ANCOVA "د تصادفي وېش (random assignment) بدیل نه دی" (Maxwell et al., 2018, p. 454): دا دې پوښتنې ته ځواب ورکوي چې "آیا ډلې به توپیر درلود که په همراه متحول (covariate) کې سره برابرې وای"، او هېڅ لار نشته چې ډاډ ترلاسه شي چې هغه توپیرونه په سمه توګه سموي چې اندازه شوي نه دي (ibid., p. 455; Field, 2024, Section 13.5.1). سربېره پر دې، کله چې همراه متحول د اندازه ګیرنې له تېروتنې سره اندازه شوی وي، سمون نیمګړی وي (Maxwell et al., 2018, p. 482). پاڼه ازمویي چې آیا همراه متحول د ډلو ترمنځ توپیر لري ("توازن"). دا احصایوي اړتیا نه ده، خو ټاکي چې څنګه تفسیر شي (ibid., pp. 475-476; Field, 2024, Section 13.5.1).
د همراه متحول (covariate) ټاکل
همراه متحول (covariate) باید له درملنې مخکې اندازه شي – هغه متحول چې درملنې پرې اغېز کړی وای شي د اغېز یوه برخه پخپله "باسي" (Pallant, 2020, Chapter 22; Maxwell et al., 2018, p. 478). هغه له مخکې ټاکل کېږي، د پخوانیو څېړنو له مخې چې ښيي هغه د تړلي متحول وړاندوینه کوي، نه د اوسنۍ څېړنې د معلوماتو له مخې (هماغه ځای، مخ 494). د تړلي متحول "مخکې" اندازه ګیرنه ښه نوماند دی (هماغه ځای، مخ 451). باید د باور وړ وي – Pallant د Cronbach الفا له .7 څخه پورته وړاندیز کوي، غوره دا چې له .8 څخه پورته وي (څپرکی 22؛ د Cronbach الفا وګورئ). څو همراه متحولونه؟ په کوچنۍ څېړنه کې له دوو یا درېیو څخه زیات نه (Maxwell et al., 2018, p. 493)، او نه داسې چې له یو بل سره ډېره همبستګي (correlation) ولري – د r = .80 شاوخوا ښه دا ده چې یو یې لرې شي (Pallant, 2020, Chapter 22).
د میلونو همجنسي
مرکزي انګېرنه: د همراه متحول (covariate) او تړلي متحول ترمنځ اړیکه په ټولو ډلو کې یو شان ده – کرښې په رښتیا موازي دي. دا په هغه ماډل کې ازمویل کېږي چې د عامل × همراه متحول متقابل اغېز (interaction) ورزیاتوي: که دا له احصایوي پلوه معنادار (statistically significant) وي، میلونه سره توپیر لري (Pallant, 2020, Chapter 22; Field, 2024, Section 13.8; Maxwell et al., 2018, p. 520). پاڼه دا ازموینه تل ترسره کوي، او په هره ډله کې میل هم ښيي. کله چې دا انګېرنه مات شي څه باید وشي؟ Pallant (2020، څپرکی 22) لیکي چې بیا ښه نه ده چې ANCOVA ترسره شي؛ Field (2024، برخه 13.8) وړاندیز کوي چې ماډل له متقابل اغېز سره وساتل شي او تفسیر شي؛ Maxwell او همکاران (2018، مخ 536-537) د جلا میلونو سره د ماډل سپارښتنه کوي – حتی کله چې د همجنسۍ ازموینه معناداري ته نږدې وي، د بېلګې په توګه p < .2 – او د Johnson-Neyman مېتود، چې ښيي د همراه متحول په کومو ارزښتونو کې د ډلو ترمنځ توپیر معنادار دی (هماغه ځای، مخ 531-535). پاڼه Johnson-Neyman نه ترسره کوي؛ SPSS یو ماکرو لري چې هغه ترسره کوي (هماغه ځای، مخ 535-536).
ANCOVA که د بدلون نمرې؟
بله عامه لار: د هر ګډونوال لپاره "وروسته منفي مخکې" محاسبه کول او د واریانس په تحلیل کې د توپیرونو پرتله کول. په هغه ازمایښت کې چې تصادفي وېش (random assignment) لري دواړه لارې همغه فرضیه ازمويي، خو ANCOVA کوچنۍ تېروتنه لري، نو "تقریباً تل غوره ده" (Maxwell et al., 2018, pp. 499-501). د بدلون نمره له هغه ANCOVA سره برابره ده چې میل یې له مخکې 1 ته ټاکل شوی وي (هماغه ځای، مخ 499). کله چې ډلې تصادفي نه وي، دواړه لارې بېلابېلې پوښتنې کوي او ښايي بېلابېل ځوابونه ورکړي – "د Lord پاراډوکس" (هماغه ځای، مخ 501-502). درېیمه لار – پر همراه متحول (covariate) باندې له رګرسیون (regression) څخه د پاتې ارزښتونو (residuals) محاسبه او د هغوی تحلیل – له ANCOVA سره برابره نه ده، او ښه دا ده چې ترې ډډه وشي (هماغه ځای، مخ 498).
جوړه ییزې پرتلې (pairwise comparisons)
کله چې له دوو څخه زیاتې ډلې وي، سمون شوي اوسطونه په جوړو کې پرتله کېږي. د هر توپیر معیاري تېروتنه (standard error) د همراه متحول (covariate) په اوسطونو کې توپیر هم رانغاړي (Maxwell et al., 2018, Equation 9.37, p. 490). پاڼه د Bonferroni له مخې سمون کوي – د Field سپارښتنه (2024، برخه 13.6.6)، او د SPSS لار هم، چې پکې عادي Post Hoc ازموینې بندې وي کله چې همراه متحول شتون ولري (هماغه ځای، برخه 13.6.5). Maxwell او همکاران د ټولو جوړه ییزو پرتلو لپاره Tukey وړاندیز کوي کله چې د همراه متحول ارزښتونه له مخکې ټاکل شوي وي، او Bryant-Paulson کله چې اندازه شوي وي (2018، مخ 490-492)؛ ځکه چې همراه متحول معمولاً د تړلي متحول په څېر اندازه کېږي، ځینې سپارښتنه کوي چې تصادفي متحول وګڼل شي (هماغه ځای، مخ 475).
د اغېز اندازې
SPSS جزئي ایټا مربع (partial eta squared) چاپوي – هغه واریانس چې عامل یې د هغه څه له جملې تشریح کوي چې نورو متحولونو تشریح نه کړ (Field, 2024, Section 13.4). Maxwell او همکاران (2018، مخ 486-489) وړاندیز کوي چې همراه متحول (covariate) د ډیزاین د "اساسي برخې" په توګه وګڼل شي – هغه په احصایوي ټولګه (population) کې شتون لري – نو له ټول واریانس څخه ونه ایستل شي: اومېګا مربع (omega squared) د 9.31 معادلې له مخې (د هغوی په بېلګه کې .12؛ د پرتلې لپاره، د عامل R² له ټول واریانس څخه .18 دی او .22 کله چې همراه متحول ګوښه شي – مخ 487-488)، او د جوړه ییزې پرتلې (pairwise comparisons) لپاره d – د سمون شویو اوسطونو ترمنځ توپیر ویشل په هغه معیاري انحراف چې د همراه متحول پرته د واریانس له تحلیل څخه دی (9.32 معادله). پاڼه دا درې واړه ښيي (اومېګا مربع – کله چې یو عامل وي).
پایلې (output) څنګه ولولو؟
په ترتیب سره: خام اوسطونه (د همراه متحول (covariate) هم)؛ مقدماتي ازموینې – توازن، د میلونو همجنسي او Levene؛ د ANCOVA جدول – د هر همراه متحول او هر عامل لپاره یو کتار؛ میل؛ سمون شوي اوسطونه د خامو په وړاندې؛ جوړه ییزې پرتلې (pairwise comparisons)؛ هغه جدول چې د همراه متحول پرته د واریانس له تحلیل سره پرتله کوي – تېروتنه څومره راټیټه شوه او آیا پایله بدله شوه؛ او ګرافونه. "د پایلې تفسیر" هغه څه ته ګوته نیسي چې ستاسو په قضیه کې مهم دي.
انګېرنې
د واریانس د تحلیل انګېرنې – خپلواکې تېروتنې، نورمالوالی (normality) او برابر واریانس – او دوه نورې: په هره ډله کې د همراه متحول (covariate) او تړلي متحول ترمنځ خطي اړیکه، او د میلونو همجنسي (Maxwell et al., 2018, pp. 473-475; Pallant, 2020, Chapter 22). خطي والی د خپرو ټکو په ګراف کې ازمویل کېږي؛ کږه اړیکه د مربعي حد په ورزیاتولو سره ماډل ته ننویستل کېدای شي (Maxwell et al., 2018, p. 493). پاڼه Levene د ماډل د پاتې ارزښتونو په مطلق ارزښت باندې ترسره کوي. کله چې انګېرنې پوره نه شي – Field (2024، برخې 13.5.3، 13.9) بوټسټرپ (bootstrap) او مقاوم ANCOVA تشریح کوي.
او دا په SPSS کې څنګه کېږي؟
Analyze → General Linear Model → Univariate: تړلی متحول (dependent variable)، عامل په Fixed Factor(s) کې او همراه متحول په Covariate(s) کې (Field, 2024, Section 13.6; Pallant, 2020, Chapter 22). د میلونو همجنسي په یوه جلا ترسره کولو کې د Model → Build terms سره ازمویل کېږي چې متقابل اغېز (interaction) رانغاړي (Field, 2024, Section 13.8). په EM Means کې – د Bonferroni سره پرتلې؛ په Options کې – د اغېز اندازه (effect size)، د همجنسۍ ازموینې او Parameter estimates. پاڼه د دواړو ترسره کولو سره سینټکس (syntax) ښکته کوي (UNIANOVA ... WITH). PSPP د همراه متحولونو سره GLM نه ترسره کوي، نو سینټکس په هغه کې نه دی ازمویل شوی.
او دا په R کې څنګه کېږي؟
خطي ماډل (lm) د صفر ته د مجموعې تقابلونو (contrasts) سره، د جدول لپاره car::Anova(type = 3)، د میلونو د همجنسۍ لپاره anova(m, ms)، او د سمون شویو اوسطونو او پرتلو لپاره emmeans (همراه متحول (covariate) په اوسط کې – تلواله (default)). لاندې سکریپټ په هماغه بڼه د Maxwell او همکارانو په بېلګه (2018، جدول 9.7، مخ 483) ترسره شو، او ارزښتونه په یادښتونو کې دي.
# ANCOVA په R کې – د Maxwell او همکارانو بېلګه (2018، جدول 9.7): خپګان مخکې او وروسته، درې ډلې د 10 کسانو
library(car) # د III ډول Anova
library(emmeans) # سمون شوي اوسطونه
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly")) # د III ډول لپاره اړین
d <- data.frame(group = factor(rep(c("SSRI", "Placebo", "Wait"), each = 10), levels = c("SSRI", "Placebo", "Wait")),
pre = c(18, 16, 16, 15, 14, 20, 14, 21, 25, 11, 18, 16, 15, 14, 20, 25, 11, 25, 11, 22, 15, 19, 10, 29, 24, 15, 9, 18, 22, 13),
post = c(12, 0, 10, 9, 0, 11, 2, 4, 15, 10, 11, 4, 19, 15, 3, 14, 10, 16, 10, 20, 17, 25, 10, 22, 23, 10, 2, 10, 14, 7))
m <- lm(post ~ pre + group, data = d)
ms <- lm(post ~ pre + group + group:pre, data = d)
anova(m, ms) # د میلونو همجنسي: F(2, 24) = 1.06, p = .36
Anova(m, type = 3) # ډله: F(2, 26) = 3.73, p = .038; مخکې: F(1, 26) = 10.77
coef(m)["pre"] # ګډ میل b = 0.645
emmeans(m, pairwise ~ group, adjust = "bonferroni")
# سمون شوي اوسطونه: 7.54, 11.98, 13.98; SSRI د انتظار په وړاندې: -6.44, p = .039
د پایلو راپور ورکول
همراه متحول (covariate) او مقدماتي ازموینې راپور کېږي، په ځانګړي ډول د میلونو همجنسي (Pallant, 2020, Chapter 22)، او بیا د همراه متحول او د عامل F، د p او د اغېز اندازې (effect size) سره (Field, 2024, Section 13.11; Pallant, ibid.). په جدول کې – خام اوسطونه د معیاري انحراف سره او سمون شوي د معیاري تېروتنې (standard error) سره، او په هره ډله کې n (هماغه ځای). پاڼه داسې پاراګراف په پښتو او انګلیسي لیکي.
عامې تېروتنې
د موجودو ډلو ترمنځ د توپیرونو "کنټرول" او د علیت پایله اخیستل – ANCOVA د تصادفي وېش (random assignment) ځای نه نیسي (Maxwell et al., 2018, p. 454; Field, 2024, Section 13.5.1).
هغه همراه متحول (covariate) چې له درملنې وروسته اندازه شوی – کېدای شي د اغېز یوه برخه وباسي (Maxwell et al., 2018, p. 478).
د سمون شویو په ځای د خامو اوسطونو تفسیر (Field, 2024, Section 13.7.2).
د میلونو له ازموینې تېرېدل – کله چې هغوی توپیر ولري، د ډلو ترمنځ توپیر د همراه متحول (covariate) په ارزښت پورې اړه لري (Field, 2024, Section 13.8).
د معلوماتو له مخې د همراه متحولونو ټاکل – د بېلګې په توګه، هغه چې په اوسنۍ نمونه کې له تړلي متحول سره تر ټولو قوي همبستګي (correlation) لري (Maxwell et al., 2018, p. 494).
د ANCOVA په ځای د پاتې ارزښتونو (residuals) تحلیل (Maxwell et al., 2018, p. 498).
سرچینې
American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000
Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.
Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.
Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.
د وېبپاڼې د قاعدې له مخې، د سرچینو په لېست کې یوازې هغه سرچینې راځي چې په اصل کې لوستل شوې دي. Field (2024) او Pallant (2020) په بهېدونکې ډیجیټل نسخه کې – د برخې او څپرکي له مخې حواله؛ Maxwell او همکاران (2018) – د چاپي مخ له مخې. د وېبپاڼې دودونه: د ټول کتار لرې کول (listwise deletion)؛ III ډول؛ سمون شوي اوسطونه د همراه متحولونو په عمومي اوسط کې، د دویم عامل په اوږدو بې وزنه؛ Levene د ماډل د پاتې ارزښتونو (residuals) په مطلق ارزښت باندې؛ په جدولونو کې له ټکي وروسته دوه رقمونه. "همراه متحول" – په وېبپاڼه کې د covariate ژباړه ده (د concomitant variable په پیروۍ)، تر څو له منځګړي متحول (mediator) سره ګډ نه شي. محاسبه د R 4.3.3 (car، emmeans) او د Maxwell او همکارانو (2018) د چاپ شویو شمېرو په وړاندې تایید شوې: جدولونه 9.1، 9.7-9.10 او 9.12، تمرین 4.