د Pearson او Spearman همبستګۍ (correlations)

حساب ماشین

د معلوماتو پورته کول

ستونونه مستقیم له پاڼې څخه (د سرلیکونو د کتار په ګډون) پېسټ کېږي – په اکسل کې په نښه کېږي، کاپي کېږي او دلته پېسټ کېږي:

د متحولونو او د همبستګۍ د ډول ټاکل

لارښود

کله کارول کېږي؟

کله چې غواړو د دوو متحولونو ترمنځ اړیکه وازمویو: ایا د یوه په ارزښت کې زیاتوالی د بل په ارزښت کې له زیاتوالي، یا برعکس له کموالي، سره تړلی دی. Pearson دوه کمي متحولونو ته اړتیا لري (فاصله یي یا نسبتي مقیاس (scale))؛ Spearman هغه وخت هم مناسب دی چې یو متحول په ترتیبي (ordinal) مقیاس اندازه شوی وي – بشپړ توپیر سمدلاسه وروسته. دواړه خپلواکې کتنې انګېري: په معلوماتو کې هر کتار بل ګډونوال دی، او د کتارونو ترمنځ اړیکه نشته – هماغه ګډونوال چې دوه ځله اندازه شوی، یا د یوه ټولګي زده کوونکي، دا انګېرنه ماتوي. د همبستګۍ (correlation) ضریب په یو ځل دوه شیان راپور کوي – د اړیکې لوری (مثبت یا منفي) او د هغې ځواک. یادول مهم دي: همبستګي علیت نه دی. حتی ډېره قوي اړیکه هم لا دا نه وايي چې یو متحول د بل لامل دی: ښايي یو درېیم متحول، چې هېڅ نه دی اندازه شوی، د دواړو ترمنځ اړیکه جوړه کړي؛ ښايي د اغېز لوری له هغه څه چې موږ فکر کاوه برعکس وي؛ او ښايي نور تشریحات هم وي. د درېیم متحول د شک د ازموینې لپاره د پاڼې په دوام کې جزئي همبستګي وګورئ.

Pearson که Spearman؟

او که یو متحول دوه ارزښتیز (dichotomous) وي؟ کله چې یو متحول دوه ارزښتیز وي (یوازې دوه ارزښتونه، د بېلګې په توګه زده کړې یې کړې/نه یې کړې) او بل کمي (د بېلګې په توګه معاش)، point-biserial همبستګي (Point-biserial) کارول کېږي: دوه ارزښتیز متحول د 0 او 1 په توګه کوډ کېږي، او پخپله محاسبه د Pearson د همبستګۍ له محاسبې سره یو شان ده (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 516-517; Field, 2024, Section 8.4.5; Cohen et al., 2003, Section 2.3.3, pp. 29-30) – له همدې امله په عمل کې دا په دې پاڼه کې په حساب ماشین کې هم د داسې کوډ ورکولو په مرسته محاسبه کېدای شي.

خو مصنوعي دوه ارزښتیزوالی مه جوړوئ. برعکس لوری نه سپارښتل کېږي: پرله پسې (continuous) متحول په دوو "ډلو" نه وېشل کېږي (د بېلګې په توګه د میانې له مخې وېش – median split) ترڅو تحلیل "ساده" شي. وېشل مالومات له لاسه ورکوي: په هغو متحولونو کې چې نورمال وېش لري، هغه همبستګي چې د اوسط له مخې له وېش وروسته ترلاسه کېږي یوازې د اصلي همبستګۍ شاوخوا 80% وي – د شاوخوا پنځمې برخې زیان، چې د نمونې د شاوخوا 38% له لاسه ورکولو سره برابر دی؛ او هر څومره چې د پرې کولو ټکی له اوسط څخه لرې کېږي (د بېلګې په توګه "لوړ/ټیټ" د کومې پولې له مخې) زیان زیاتېږي – په یوه معیاري انحراف کې په پرې کولو سره د همبستګۍ یوازې شاوخوا دوه پر درېیمه پاتې کېږي (Cohen, 1983). احصایوي ځواک (statistical power) هم زیانمن کېږي: د هغې اړیکې د موندلو چانس چې په ریښتیا شته کمېږي – د MacCallum او همکارانو په بېلګه کې، د ρ = .40 او N = 50 لپاره، ځواک له .84 څخه .63 ته راښکته کېږي کله چې یو متحول د اوسط له مخې ووېشل شي (MacCallum et al., 2002, pp. 26-27). point-biserial همبستګي د هغه متحول لپاره ده چې په طبیعي ډول دوه ارزښتیز وي – نه د هغه پرله پسې متحول لپاره چې وېشل شوی وي.

پایله څنګه ولولو؟

د همبستګۍ ضریب r – او د Spearman په همبستګۍ کې: r_s – د -1 او +1 ترمنځ بدلېږي، او دوه برخې لري چې هره یوه بله کیسه کوي. نښه – مثبته یا منفي – وايي چې د اړیکې لوری څه دی. اندازه، له نښې پرته (|r|)، وايي چې اړیکه تر کومه حده قوي ده: هر څومره چې 1 ته نږدې وي اړیکه – په Pearson کې خطي، په Spearman کې مونوټونیکه – قوي وي، او هر څومره چې 0 ته نږدې وي – کمزورې وي.

د Pearson بشپړه همبستګي (r = ±1) دا مانا لري چې ټول ټکي دقیقاً پر یوه مستقیمه کرښه پراته دي – لوړېدونکې یا ښکته کېدونکې. د Spearman بشپړه همبستګي (r_s = ±1) له دې لږ غواړي: بس دي چې په یوه متحول کې هر زیاتوالی تل په بل متحول کې له زیاتوالي (یا تل له کموالي) سره یوځای وي – حتی که ټکي پر مستقیمه کرښه پراته نه وي.

او r = 0 څه وايي؟ یوازې دا چې خطي اړیکه نشته. ټیټه یا صفر همبستګي دا نه ثابتوي چې د متحولونو ترمنځ هېڅ اړیکه نشته: د هغوی ترمنځ لا هم کېدای شي یوه قوي غیر خطي اړیکه وي – د بېلګې په توګه د U په بڼه – چې د Pearson ضریب یې په ساده ډول نه ویني. له همدې امله ښه دا ده چې تل په پایلو کې د خپرو ټکو ګراف (scatter plot) ته هم وکتل شي.

هماغه r – بشپړ بېلابېل انځورونه. د خپرو ټکو د ګراف (scatter plot) د اهمیت تر ټولو مشهوره ښودنه "د Anscombe څلورګونی" دی: د معلوماتو څلور ټولګې چې ټولې یې هماغه اوسطونه، هماغه معیاري انحرافونه او هماغه همبستګي لري – r = .816 – خو د خپرو ټکو په ګراف کې یو له بل څخه بشپړ بېل ښکاري: په یوه کې – عادي خطي اړیکه؛ په دویم کې – یو غیر خطي منحني؛ په درېیم کې – بشپړه کرښه چې یو لرې پروت ټکی ضریب ترې "راکاږي"؛ او په څلورم کې – همبستګي چې ټوله پر یوې واحدې افراطي کتنې ولاړه ده (Anscombe, 1973). پایله: هېڅکله یوازې پر ضریب بسنه نه کېږي – تل پخپله معلوماتو ته هم کتل کېږي. او دا کتنه تر SPSS پورې ځنډول ته اړتیا نه لري: د وېبپاڼې په د خپرو ټکو ګراف او د رګرسیون کرښه پاڼه کې کولای شئ هماغه د معلوماتو فایل پورته کړئ، د متحولونو یوه جوړه وټاکئ او سمدلاسه د هغوی د خپرو ټکو ګراف ترلاسه کړئ – د رګرسیون له کرښې (regression line)، د همبستګۍ له ضریبونو او R² سره.

د اړیکې ځواک. د همبستګیو په کمزورو، منځنیو یا قویو وېشلو لپاره نړیواله پوله نشته. د لارښوونې لپاره معمولاً د Cohen دودونه کارول کېږي (Cohen, 1988, pp. 79-81): |r| < .10 – ناچیز؛ .10-.30 – کمزوری؛ .30-.50 – منځنی؛ .50 او پورته – قوي. دا هماغه پیمانه ده چې په دې پاڼه کې اتوماتې د راپور جملې یې کاروي. ځینې لارښودونه یو څه بېل وېش وړاندې کوي، او پخپله Cohen ټینګار کوي چې دا دودونه یوازې هغه وخت د کارولو لپاره دي چې د ساحې لپاره تر دې مناسب معیارونه شتون ونه لري. له همدې امله د همبستګۍ ځواک باید د څېړنې د شرایطو، د متحولونو د ماهیت او په ساحه کې د پخوانیو موندنو له مخې تفسیر شي – نه د مخکې چمتو شویو پولو له مخې (Cohen, 1988, p. 79; Field, 2024, Section 8.2.2; Pallant, 2020, Chapter 11).

معناداري (significance) ځواک نه دی. لویه نمونه پخپله اړیکه نه قوي کوي – یوازې د هغې اندازه ګیرنه دقیقه کوي. پایله: په لویه نمونه کې حتی ډېره کوچنۍ همبستګي هم کېدای شي معناداره راووځي، او په کوچنۍ نمونه کې ریښتینې اړیکه کېدای شي په ساده ډول له پامه ووځي. له همدې امله تل r، p او N درې واړه راپور کېږي، او یوازې پر یوه یې بسنه نه کېږي.

د باور واټن (confidence interval). په نمونه کې r یو اټکل دی؛ د 95% د باور واټن وايي چې په احصایوي ټولګه (population) کې همبستګي په معقول ډول په کومه ساحه کې ده – او په دې توګه هغه څه بشپړوي چې یوازې p یې نه وايي. د جزئیاتو جدول او په پاڼه کې د راپور جملې دا د Pearson د هرې همبستګۍ لپاره ښيي، د Fisher د بدلون پر بنسټ محاسبه (فورمول او بېلګه – په فورمولونه برخه کې؛ Field، 2024، برخه 8.2.4). په هغه کې دوه شیان لوستل کېږي: ایا صفر پکې شامل دی (که هو – معلومات د اړیکې نشتوالی نه ردوي، او دا د نامعنادار p سره برابر دی)، او څومره پراخ دی – داسې واټن لکه [.02, .53] (د بېلګې په توګه r = .30 د n = 50 سره) ښيي چې همبستګي په د پام وړ ناڅرګندتیا سره اټکل شوې، حتی که معناداره وي. واټن د r په شاوخوا متناظر نه دی – او دا سمه ده. Field (2024، برخه 8.8) سپارښتنه کوي چې د باور واټن د همبستګۍ تر څنګ راپور شي – او په پاڼه کې د راپور جملې همداسې کوي.

ولې همبستګي له تمې څخه ټیټه ده؟ دوه "تخنیکي" عوامل په سیستماتیک ډول همبستګۍ کموي. محدوده ساحه (restriction of range): کله چې نمونه د ارزښتونو د ساحې یوازې یوه برخه رانغاړي – د بېلګې په توګه د ټاکنې د نمرې او په دنده کې د بریالیتوب ترمنځ د اړیکې ازموینه یوازې د هغو کسانو په منځ کې چې منل شوي – لیدل شوې همبستګي په بشپړه احصایوي ټولګه کې له همبستګۍ څخه ټیټه راوځي؛ Cohen حتی خبرداری ورکوي چې د نمونې د اندازې جدولونه یې د محدودې ساحې په شرایطو کې اعتبار نه لري (Cohen, 1988, p. 100). د ثبات (reliability) له امله کمښت (attenuation): کله چې د اندازه ګیرنې وسیلې دقیقې نه وي، نمرو ته تصادفي شور ورزیاتېږي – او دا شور لیدل شوې همبستګي کمزورې (کوچنۍ) کوي (Cohen, 1988, p. 79). نږدې قاعده: هغه همبستګي چې په نمونه کې لیدل کېږي له ریښتینې همبستګۍ ضرب √(r_xx·r_yy) سره برابره ده – د دواړو وسیلو د ثباتونو د حاصل ضرب جذر. بېلګه: د دوو شاخصونو ترمنځ د .50 ریښتینې اړیکه، چې د هر یوه ثبات .70 وي، په نمونه کې به یوازې شاوخوا .35 ښکاري. له همدې امله، کله چې همبستګي له پخوانیو موندنو سره پرتله کېږي، ښه دا ده چې د نمونې ساحې او د وسیلو ثبات دواړو ته پام وشي. د هغو عواملو د سیستماتیک بحث لپاره چې د r پر اندازه اغېز کوي – د دواړو پدیدو لپاره د سمون د فورمولونو په ګډون – Cohen et al.‏ (2003، برخه 2.10) وګورئ.

ګڼې پرتلې (multiple comparisons). کله چې ډېرې همبستګۍ په یو ځل ازمویل کېږي، دا چانس زیاتېږي چې لږ تر لږه یوه یې په تصادفي ډول معناداره ومومل شي: په پنځو متحولونو کې دمخه لس ازموینې ترسره کېږي. په تاییدي څېړنه کې غوره ده چې فرضیې مخکې له مخکې وټاکل شي، یا د ګڼو پرتلو له امله د معناداري په ارزښتونو کې د سمون په اړه فکر وشي (د بېلګې په توګه د Holm یا FDR سمون).

همبستګي سلنه نه ده. د r = .50 همبستګي "د 50% اړیکه" نه ښيي. د دې لپاره چې د دوو متحولونو ترمنځ د ګډ واریانس کچه وښودل شي، د Pearson ضریب مربع کېږي: په دې حالت کې r² = .25، یعنې 25% ګډ واریانس. د ګډ واریانس تفسیر د Pearson د همبستګۍ لپاره سم دی – په اتوماتې ډول د Spearman د ضریب پر مربع نه تطبیقېږي.

عامې تېروتنې

د همبستګۍ د ځواک (r) له راپور پرته د p ارزښت راپور ورکول – یوازې معناداري (significance) نه وايي چې اړیکه څومره قوي ده. د "نامعنادارې" (not significant) پایلې تفسیر د دې ثبوت په توګه چې "اړیکه نشته" – ښايي نمونه په ساده ډول دومره کوچنۍ وي چې موجوده اړیکه ونه مومي. له همبستګۍ څخه د علیت پایله اخیستل. د r د سلنې په توګه وړاندې کول. پر یوه واحد Likert توکي (Likert item) د Pearson همبستګي چلول پرته له دې چې Spearman په پام کې ونیول شي – د یوه واحد توکي لپاره Spearman په ډېرو حالتونو کې ډېر مناسب دی، که څه هم دا یو منل شوی دود دی نه مطلقه قاعده: Jamieson (2004) په سخت اړخ کې، Norman (2010) په نرم اړخ کې – او هغه دا هم وښوده چې د Likert پر ریښتینو معلوماتو (د همبستګیو 64 جوړې) Pearson او Spearman نږدې هماغه پایلې ورکوي، حتی په ډېرو کږو وېشونو کې (د دواړو ډولونو ضریبونو ترمنځ د .99 همبستګي). او د نمونې اندازه (N) چې هره همبستګي پرې ولاړه ده د راپور ورکولو هېرول.

او پرته له فکره پر جوړه ییز لرې کولو (pairwise deletion) باور کول. حساب ماشین، SPSS او R (د pairwise.complete.obs سره) هره همبستګي پر هغو ګډونوالو محاسبه کوي چې د هماغې جوړې په دواړو متحولونو کې سم ارزښت لري – او همدا لامل دی چې د بېلګې په جدول کې N د 447 او 483 ترمنځ بدلېږي. دا اسانتیا وړیا نه ده. Gelman & Hill (2007، مخ 531-532) دې طریقې ته "د شته قضیو تحلیل" (available-case analysis) وايي او دوو ستونزو ته اشاره کوي. لومړۍ: په ماتریس کې هره همبستګي د ګډونوالو پر بېلې فرعي ډلې محاسبه کېږي، له همدې امله همبستګۍ "اړینه نه ده چې یو له بل سره همغږې وي" – په عمل کې هغوی یو څه بېلابېلې نمونې تشریح کوي. دویمه، چې د ټول کتار پر لرې کولو (listwise deletion) هم تطبیقېږي: که هغه څوک چې ځواب یې نه دی ورکړی په سیستماتیک ډول له هغو څخه توپیر ولري چې ځواب یې ورکړی، اټکل متعصب کېږي. د نیویارک له یوې سروې څخه د هغوی بېلګه: 90% تور پوستو ځواب ورکوونکو خپل عاید راپور کړی و د 81% سپین پوستو په پرتله، له همدې امله د عاید لنډیز د هغې احصایوي ټولګې استازیتوب کوي چې د زده کړې له لنډیز څخه بېله ده. عملي پایله دا نه ده چې له جوړه ییز لرې کولو تېر شو – کله چې ورکېدنه لږه او تصادفي وي معقول دی، او معمولاً د بشپړو ګډونوالو له غورځولو غوره دی – بلکې درې عادتونه: د N ساحه راپور کول (لکه څنګه چې جدول یې کوي)؛ کله چې د جوړو ترمنځ توپیر لوی وي، کتل چې څوک ورک دي او په کوم متحول کې؛ او په یاد ساتل چې کله ورکېدنه تصادفي نه وي، حل یې د ماډل پر بنسټ د معلوماتو بشپړول دي (imputation؛ هماغه ځای، برخې 25.3-25.6؛ د له ورکو ارزښتونو سره چلند پاڼه وګورئ)، نه د لرې کولو د دوو طریقو ترمنځ ټاکنه.

جزئي همبستګي – د درېیم متحول بې اغېزه کول

کله ناکله د دوو متحولونو ترمنځ همبستګي د هغوی ترمنځ مستقیمه اړیکه نه منعکسوي، بلکې د یوه درېیم متحول له خوا "جوړېږي" چې له دواړو سره همبستګي لري – دې پدیدې ته دروغجنه همبستګي (spurious correlation) ویل کېږي. جزئي همبستګي (Partial correlation) داسې شک ازمويي: دا د x او y ترمنځ همبستګي محاسبه کوي په داسې حال کې چې درېیم متحول z په احصایوي ډول بې اغېزه کېږي (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 502; Field, 2024, Section 8.5.2; Cohen et al., 2003, Section 3.3.3, p. 74).

یوه پېژندل شوې بېلګه: د ښارونو په یوه نمونه کې، په ښار کې د عبادت ځایونو شمېر د هغه ځای د جدي جرمونو له شمېر سره قوي همبستګي لري – r = .92. تشریح دا نه ده چې عبادت ځایونه جرم زېږوي: دواړه متحولونه له یوه درېیم متحول سره همبستګي لري – د نفوس اندازه (د عبادت ځایونو له شمېر سره r = .96 او د جرمونو له شمېر سره r = .96). په لوی ښار کې له دواړو څخه ډېر شته، په کوچني ښارګوټي کې – له دواړو څخه لږ. د نفوس د اندازې له بې اغېزه کولو وروسته جزئي همبستګي صفر ته راښکته کېږي – یوه کلاسیکه دروغجنه همبستګي (Gravetter & Wallnau، 2017، مخ 497، 503؛ په دې بېلګه کې معلومات د ښودنې لپاره جوړ شوي، لکه څنګه چې په کتاب کې یاد شوي). پام وکړئ چې دلته r_xy ≈ r_xz·r_yz – او دا دقیقاً د دروغجنې اړیکې رسمي شرط دی: x له y سره یوازې د z له لارې تړلی دی (Cohen et al., 2003, Section 3.4.4, p. 78). خو بې اغېزه کول تل اړیکه "نه ماتوي": د Pallant په بېلګه کې (2020، څپرکی 12) د کنټرول د احساس او د درک شوي فشار ترمنځ همبستګي r = −.58 ده، او د ټولنیز مطلوبیت له بې اغېزه کولو وروسته نږدې هماغسې پاتې کېږي (جزئي همبستګي r = −.55). کله چې جزئي همبستګي اصلي همبستګۍ ته نږدې وي، دا برعکس دا ثبوت دی چې اړیکه پخپله ولاړه ده او د هغه درېیم متحول محصول نه دی چې ازمویل شوی. جزئي همبستګي له درېیو جوړه ییزو همبستګیو څخه محاسبه کېږي:

او د عبادت ځایونو او جرم په بېلګه کې (په کتاب کې د دقیقو شمېرو سره):

نږدې خپلوان: نیمه جزئي همبستګي. په جزئي همبستګۍ کې درېیم متحول له دواړو متحولونو څخه بې اغېزه کېږي. په نیمه جزئي همبستګۍ کې (semi-partial؛ په SPSS کې ورته Part ویل کېږي) z یوازې له یوه متحول څخه بې اغېزه کېږي. په تفسیر کې توپیر: د نیمه جزئي همبستګۍ مربع د x ځانګړې ونډه د y په تشریح کې ورکوي، د ټول هغه واریانس د برخې په توګه چې y یې لري. په مقابل کې، د جزئي همبستګۍ په مربع کې، برخه یوازې له هغه واریانس څخه محاسبه کېږي چې د z له بې اغېزه کولو وروسته پاتې دی (Field, 2024, Section 8.5). دا شاخص په عمده توګه په څو ګونی رګرسیون (regression) کې مهم دی، چې په هغه کې د هر وړاندوینوونکي (predictor) ځانګړې ونډه ښيي. فورمول د جزئي همبستګۍ له فورمول سره یو شان دی – یوازې په مخرج کې یو جذر پاتې کېږي:

دا هم شونې ده چې دوه متحولونه په یو وخت بې اغېزه شي – د دویمې درجې جزئي همبستګي (Field, 2024, Section 8.5.3). پام وکړئ: ټیټه جزئي همبستګي لیدل شوې اړیکه "نه لغوه کوي" – دا ښيي چې د هغې یوه د پام وړ برخه د درېیم متحول له خوا تشریح کېږي؛ او د بې اغېزه کولو لپاره د متحول ټاکل یو نظري غور دی، نه احصایوي. په څو متحوله شرایطو کې د جزئي او نیمه جزئي همبستګۍ د بشپړې پراختیا لپاره Cohen et al.‏ (2003، برخې 3.3.2-3.3.3، مخ 72-75) وګورئ.

د درېیم متحول درې بېلابېل رولونه. جزئي همبستګي له درېیم متحول سره په یوه رول کې چلند کوي – ګډوډوونکی (confounder)، چې دروغجنه اړیکه جوړوي لکه د عبادت ځایونو او جرم په بېلګه کې د نفوس اندازه (Cohen et al., 2003, Section 3.4.4). خو درېیم متحول کولای شي د تعدیلوونکي (moderator) رول هم ولوبوي: د x او y ترمنځ د اړیکې ځواک یا لوری د z د ارزښتونو له مخې بدلېږي – لومړنۍ کتنه یې د ډلو ترمنځ د همبستګۍ پرتله ورکوي (په فورمولونه برخه کې "د دوو همبستګیو ترمنځ پرتله" وګورئ)، او بشپړه ازموینه یې په رګرسیون کې د متقابل اغېز (interaction) له لارې کېږي (کلاسیکه پراختیا: Cohen et al.‏، 2003، څپرکی 7)؛ یا د منځګړي متحول (mediator): z هغه میکانیزم دی چې د هغه له لارې x له y سره تړلی دی (x → z → y)، او بیا د منځګړیتوب (mediation) په تحلیل کې ټوله اړیکه په مستقیم او غیر مستقیم اغېز وېشل کېږي (پراختیا: Cohen et al.‏، 2003، څپرکی 12؛ Field، 2024، برخې 11.3-11.4). پوهېدل مهم دي: جزئي همبستګي نه شي کولای د ګډوډوونکي او منځګړي ترمنځ توپیر وکړي – محاسبه په دواړو حالتونو کې یو شان ده، او د دوی ترمنځ توپیر د تیورۍ او د څېړنې د ډیزاین موضوع ده. تعدیل (moderation) او منځګړیتوب د رګرسیون نړۍ ته اړه لري – د تعدیل او منځګړیتوب پاڼه (متقابل اغېز، ساده میلونه، د bootstrap سره غیر مستقیم اغېز (indirect effect))، د څو ګونی خطي رګرسیون پاڼه، او د لارو په ماډل کې د منځګړیتوب لپاره – د د لارو تحلیل او منځګړیتوب پاڼه وګورئ، چې اړیکه د باور له واټنونو سره په مستقیم او غیر مستقیم اغېز وېشي.

او دا په SPSS کې څنګه کېږي؟

په دې پاڼه کې حساب ماشین په SPSS کې د Bivariate Correlations د کړنلارې له عامو تنظیماتو سره برابر دی. د تفصیلي لارښودونو لپاره Pallant (2020، څپرکي 11-12) او Field (2024، څپرکی 8) وګورئ.

د نسخو یادونه. په دې برخه کې د پردې انځورونه د SPSS په 21 نسخه کې اخیستل شوي. پخپله کړنلارې په نسخو کې ثابتې دي، خو په مېنو کې د توکو ځای او د اختیارونو نومونه ښايي یو څه بدل شي – او که ستاسو پرده یو څه بېله ښکاري، همدا یې شاید لامل وي. یوه عیني بېلګه د پاڼې په دوام کې راغلې: د Confidence Interval تڼۍ د Bivariate Correlations کړکۍ ته یوازې په 27 نسخه کې ورزیاته شوه، او په پخوانیو نسخو کې به یې هلته ونه مومئ. Field (2024) د 29 نسخې له مخې لیکل شوی، او پخپله په دې اړه ډاډ ورکوي: د یوې چاپ او بلې چاپ ترمنځ نوې نسخې راوځي، او هغه کړنلارې چې کتاب یې تشریح کوي له دې څخه نږدې نه اغېزمنېږي.

په مېنو کې Analyze › Correlate › Bivariate… ټاکل کېږي:

په هغه ډیالوګ بکس کې چې خلاصېږي (Bivariate Correlations) په یوه اړخ کې د فایل د متحولونو لېست ښکاري، او Variables بکس ته هغه متحولونه لېږدول کېږي چې د هغوی ترمنځ اړیکه ازمویل غواړو (دوه یا ډېر). د Correlation Coefficients لاندې، د Pearson ضریب (Pearson) د تلوالې (default) په توګه په نښه شوی – بل کلیک یې لغوه کوي – په داسې حال کې چې د Spearman ضریب (Spearman)، چې د تلوالې په توګه نښه شوی نه دی، په هماغه بکس کې په نښه کېږي؛ دواړه یوځای هم په نښه کېدای شي، لکه په دې پاڼه کې د "دواړه" اختیار. (Kendall's tau-b د رتبو یو بل ضریب دی چې هلته ښکاري او پاڼه یې نه محاسبه کوي.)

د SPSS تلوالې د دې پاڼې له تلوالو سره یو شان دي – دوه اړخیزه (two-tailed) معناداري (Two-tailed)، د معنادارو همبستګیو په ستورو نښه کول (Flag significant correlations) او د ورکو ارزښتونو جوړه ییز لرې کول (pairwise deletion) (Options › Exclude cases pairwise) – له همدې امله په ډېرو حالتونو کې پایلې باید د ګردولو تر توپیرونو پورې یو شان وي. (پاڼه تل دوه اړخیزه معناداري محاسبه کوي، او د کړنلارې نور اختیارونه لکه یو اړخیزه ازموینه نه لري.) د نښه کولو یو کوچنی توپیر: SPSS یوازې p < .05 او p < .01 نښه کوي، په داسې حال کې چې دلته د p < .001 لپاره *** هم نښه کېږي، لکه څنګه چې د APA په جدولونو کې دود دی (American Psychological Association [APA], 2020, Section 7.14).

په ډیالوګ بکس کې پر Paste کلیک عمل د سینټکس (syntax) په توګه خوندي کوي – د تحلیل د ثبتولو او بیا جوړولو لپاره ګټور دی:

CORRELATIONS
  /VARIABLES=מנהיגות יעילות מוכנות שייכות אמון
  /PRINT=TWOTAIL NOSIG
  /MISSING=PAIRWISE.

او د باور واټن (confidence interval)؟ پورتنی سینټکس یې نه چاپوي. په SPSS 27 او پورته کې د Bivariate Correlations په کړکۍ کې پر Confidence interval… کلیک کېږي او Estimate confidence interval of bivariate correlation parameter په نښه کېږي – او پایلو ته دویم جدول ورزیاتېږي چې د هرې همبستګۍ ښکتنۍ او پورتنۍ پولې لري (Field, 2024, Sections 8.4.1-8.4.2). د Pearson لپاره محاسبه د Fisher بدلون دی – هماغه واټن چې په دې پاڼه کې د جزئیاتو جدول یې ښيي. په پخوانیو نسخو کې تڼۍ نشته، او واټن د فورمولونه برخې په فورمول محاسبه کېږي – یا دلته په پاڼه کې.

او حتی د ضریبونو مخکې – په یو ځل ټولو جوړو ته کتنه. د خپرو ټکو د ګراف (scatter plot) سپارښتنه د متحولونو پر ټولو جوړو په یوه ګوزار پلي کېدای شي، د د خپرو ټکو د ګرافونو ماتریس په مرسته: په مېنو کې Graphs › Legacy Dialogs › Scatter/Dot… › Matrix Scatter › Define، متحولونه د Matrix Variables لېست ته لېږدول کېږي او تایید کېږي. هماغه ماتریس په عصري Chart Builder کې هم جوړېدای شي، چې په هغه کې د برابرۍ له کرښې سره یو واحد د خپرو ټکو ګراف یا د ډلو له مخې ډلبندي شوی د خپرو ټکو ګراف هم جوړېږي (Field, 2024, Section 5.8). دلته هم Paste سینټکس خوندي کوي:

د یوه واحد، ډېر تفصیلي د خپرو ټکو ګراف لپاره – د رګرسیون کرښې (regression line)، R² او چمتو د راپور جملو سره – د خپرو ټکو د ګراف پاڼه وګورئ، چې د کړنلارې لپاره د SPSS بشپړ او انځوریز لارښود هم لري.

GRAPH
  /SCATTERPLOT(MATRIX)=leadership efficacy readiness belonging trust
  /MISSING=LISTWISE.

د ماتریس په لوستلو کې درې ټکي. لومړی، ټولې خونې لوړېدونکې ورېځ ښيي – د پایلو په جدول کې د لسو مثبتو او قویو همبستګیو سره سم، او د کږې اړیکې یا اغېزمنو لرې پرتو ارزښتونو (outliers) نښې پکې نشته؛ دا دقیقاً هغه ازموینه ده چې د Anscombe څلورګونی یې زده کوي (پورته وګورئ). دویم، ټکي پر یوې منظمې "جال" راټولېږي – دا هغه وخت تمه کېږي چې متحولونه د مقیاس د جلا توکو اوسطونه وي، او ستونزه نه ده. او درېیم، پام وکړئ چې د GRAPH امر د تلوالې (default) په توګه د ټول کتار لرې کول (listwise deletion) کاروي (/MISSING=LISTWISE) – د همبستګیو د جدول د جوړه ییز لرې کولو برعکس – له همدې امله په هره خونه کې د ټکو شمېر ښايي په جدول کې د هماغې جوړې له N څخه یو څه کوچنی وي.

او په عمل کې د نورمالوالي (normality) ازموینه؟ لکه څنګه چې یاد شول، نورمالوالی په عمده توګه د معناداري د ازموینې اعتبار پورې اړه لري، په ځانګړي ډول په کوچنیو نمونو کې. ازموینه په ګرافیکي ډول کېږي: په مېنو کې Analyze › Descriptive Statistics › Explore کې Normality plots with tests په نښه کېږي او د Q-Q ګراف ترلاسه کېږي – که ټکي د قطر کرښې ته نږدې وي، وېش (distribution) نورمال ته نږدې دی – د نامتناظرۍ (skewness) او څوکوالي (kurtosis) د شاخصونو تر څنګ چې په هماغو پایلو کې دي (Field, 2024, Sections 6.9.4-6.9.5). او کله چې شک پاتې شي – په bootstrap کې د باور واټن (د فورمولونه برخه وګورئ) د نورمالوالي پر انګېرنې تکیه ډېره کموي؛ البته هغه هم پر خپلواکو کتنو او پر داسې نمونې ولاړ دی چې د احصایوي ټولګې (population) استازیتوب وکړي.

د پایلو (output) لوستل

دا د مقاومت د پنځو متحولونو – مشري، اغېزمنتوب، چمتووالی، تړاو او باور – لپاره د SPSS د پایلو جدول (Correlations) دی. د پایلو جدول یو متناظر ماتریس دی: متحولونه په کتارونو او ستونونو دواړو کې د سرلیکونو په توګه کارول کېږي، او هره جوړه دوه یو شان حجرې ترلاسه کوي – یوه د قطر پورته او یوه لاندې. په هره حجره کې درې کرښې دي:

په هره حجره کې لومړۍ کرښه – د همبستګۍ ضریب (Pearson Correlation). د بېلګې په توګه، په هغه کتار کې چې په غشي نښه شوی، د چمتووالي او مشرۍ ترمنځ همبستګي .722 ده – مثبته همبستګي: د چمتووالي لوړې کچې د مشرۍ له لوړو کچو سره یوځای ځي، او د Cohen د دودونو له مخې دا قوي همبستګي ده. که نښه منفي وای، مانا به یې برعکس وه – هر څومره چې د یوه ارزښت لوړېږي، د بل ارزښت ښکته کېږي. پر قطر به تل 1 راځي: هر متحول له ځان سره بشپړه همبستګي لري. دا موندنه نه ده – په ساده ډول له قطر څخه تېرېږو.

دویمه کرښه – معناداري (Sig. (2-tailed)). SPSS د p ارزښت د ټکي وروسته په درېیو رقمونو ښيي، له همدې امله .000 صفر مانا نه لري بلکې p < .001 – او همداسې راپور کېږي (هېڅکله p = 0 نه؛ APA، 2020، برخه 6.36). هغه ستوري چې د ضریبونو تر څنګ دي او د جدول لاندې په پاڼې لاندې یادونه کې تشریح شوي، معناداره همبستګي نښه کوي؛ په دې جدول کې ټولې همبستګۍ معناداره دي.

درېیمه کرښه – د نمونې اندازه (N). د هغو ګډونوالو شمېر چې د هغوی پر معلوماتو هماغه همبستګي محاسبه شوې. پام وکړئ چې N له یوې جوړې څخه بلې ته بدلېږي (د بېلګې په توګه د مشرۍ-اغېزمنتوب په جوړه کې 455 د مشرۍ-چمتووالي په جوړه کې د 447 په پرتله): دا جوړه ییز لرې کول (pairwise deletion) دي – هره همبستګي پر هغو ګډونوالو محاسبه کېږي چې د هماغې جوړې په دواړو متحولونو کې سم ارزښت لري، په سینټکس کې د /MISSING=PAIRWISE سره سم.

د جوړه ییز لرې کولو (pairwise deletion) په اړه څه پوهېدل مهم دي. ګټه – هره همبستګي د شته معلوماتو تر ټولو ډېره برخه کاروي. بیه – هره همبستګي پر یوې یو څه بېلې فرعي نمونې محاسبه کېږي، له همدې امله په ماتریس کې د ضریبونو ترمنځ پرتله دقیقاً پر هماغو ګډونوالو ولاړه نه ده؛ کله چې ورکېدنې ډېرې وي، داسې ماتریس حتی کېدای شي د هغو تعقیبي تحلیلونو لپاره ناهمغږی راووځي چې پرې ولاړ دي (لکه څو ګونی رګرسیون یا SEM). له همدې امله د هرې همبستګۍ لپاره N راپور کېږي (لکه د هغه جدول په یادونه کې چې دا پاڼه یې ښيي)، او کله چې ډېر ورک معلومات وي، د ټول کتار لرې کول (listwise deletion) (د Bivariate په کړکۍ کې Options › Exclude cases listwise) یا له ورکو معلوماتو سره ځانګړی چلند په پام کې نیول کېږي.

دوه شیان لوستل ټاکي: د ضریب اندازه، چې ځواک ترې لوستل کېږي، او نښه یې، چې لوری ترې لوستل کېږي. په دې جدول کې ټولې لس همبستګۍ مثبتې، قوي (.622-.738) او معناداره دي. د Spearman د همبستګۍ د پایلو جدول دقیقاً په هماغه جوړښت جوړ شوی. دا پاڼه هماغه مالومات د APA په ډېر سپمېدونکې بڼه کې ښيي: د ښکتني مثلث ماتریس چې په هغه کې ستوري معناداري نښه کوي، او N د جدول په یادونه کې راپور کېږي.

د پایلو راپور ورکول

د متن او جدول ترمنځ پرېکړه د مقدار موضوع ده: یوه جوړه په یوه جمله کې راټولېږي؛ لس جوړې، لکه دلته، نور په پرله پسې ډول نه لوستل کېږي – له همدې امله دوه سطحې یوځای کېږي: یو لنډ جدول چې ټولې همبستګۍ راټولوي، او متن چې هغه انځور روښانه کوي چې له جدول څخه راوځي – پرته له دې چې هره هغه شمېره تکرار کړي چې دمخه پکې راغلې. د هغو پایلو لپاره چې موږ همدا اوس ولوستلې، راپور به داسې ښکاري.

جدول. د SPSS ماتریس لکه څنګه چې دی کار ته نه کاپي کېږي: دا هره همبستګي دوه ځله ښيي، او په څېړنیز راپور کې اړتیا نشته چې کومه همبستګي له یو ځل څخه ډېر راپور شي. د همبستګیو جدول باید لنډ وي او یوازې اړین مالومات ولري: ښکتنی مثلث، ارزښتونه پرته له مخکني صفر او د ټکي وروسته په دوو رقمونو – د APA بڼه همداسې غواړي (APA, 2020, Section 6.36) – او پرته له دقیقو p ارزښتونو – معناداري په ستورو نښه کېږي، چې تشریح یې د جدول لاندې لیکل کېږي (برخه 7.14). دا دقیقاً په لارښود کې د همبستګیو د بېلګې جدول جوړښت دی: متحولونه د سرلیکونو په ستون کې شمېرل شوي، د ستونونو په سرلیکونو کې یوازې شمېرې راځي، او قطر – چې په هغه کې د یوه متحول همبستګي له ځان سره 1 ده – په یوه اوږده جلا کوونکې کرښه (em dash) نښه کېږي، نه په شمېره (برخه 7.21، جدول 7.10). د نمونې اندازه هم په هره حجره کې لیکلو ته اړتیا نه لري: کله چې هماغه N تکرارېږي یو ځل راپور کېږي، د جدول لاندې یا د هغه د سرلیک لاندې، او کله چې له یوې جوړې څخه بلې ته بدلېږي – لکه دلته، د جوړه ییز لرې کولو له امله – ساحه راپور کېږي. (د همبستګیو هغه ماتریس چې پاڼه یې په پایلو کې ښيي برعکس په درېیو رقمونو پاتې کېږي، لکه په SPSS او R کې، ترڅو له هغوی سره کتنه او پرتله اسانه شي؛ په هغه جدول کې چې په دنده کې سپارل کېږي دوو ته ګردېږي – د ماتریس لاندې د "د سپارلو جدول کاپي" تڼۍ دا په اتوماتې ډول کوي.) پام وکړئ: هغه همبستګۍ چې په پایلو کې په ** نښه شوې (د .01 په کچه معناداره) په عمل کې p < .001 دي – له همدې امله په جدول کې په *** نښه شوې دي.

متن. د همبستګۍ په اړه لفظي راپور درې برخې لري: پخپله همبستګي، د هغې معناداري (significance) او د نمونې اندازه. د دوی تر شا قاعده: متن باید دومره مالومات ولري چې لوستونکی ترسره شوی تحلیل وپوهېږي او وکولای شي تایید یې کړي، په شمول د اغېز د اندازو (effect sizes) او د باور د واټنونو (confidence intervals) کله چې شتون ولري (APA, 2020, Section 6.43). داسې لیکل کېږي چې موندنه په کلمو کې ولوستل شي او احصایه په قوسونو کې راشي، د بېلګې په توګه: وموندل شول چې هر څومره اغېزمنتوب لوړ وي، باور هم هومره لوړ وي (r = .74, 95% CI [.69, .78], p < .001, n = 479). د باور واټن له r وروسته قوسونو ته ننوځي – Field (2024، برخه 8.8) هم همداسې راپور کوي، او په پاڼه کې د راپور جملې هم همداسې لیکل کېږي. د نمونې اندازه د n په توګه راپور کېدای شي، یا د ازادۍ د درجو (degrees of freedom) په توګه له r وروسته په قوسونو کې – r(477) = .74، چې df = N − 2 – او کله چې N د ټولو همبستګیو لپاره یو شان وي، د موندنو د څپرکي په سر کې یو ځل راپور کېږي او له تکرار څخه مخنیوی کېږي. د متن په منځ کې جدول ته اشاره کېږي، عمومي بڼه تشریح کېږي او برجسته موندنې روښانه کېږي، د بېلګې په توګه تر ټولو قوي او تر ټولو کمزورې همبستګي:

په دې بڼه جدول او د راپور جملې په دې پاڼه کې حساب ماشین په اتوماتې ډول د معلوماتو له فایل څخه جوړوي، او بشپړې پایلې د Word فایل په توګه ښکته کېدای شي.

او ګراف. کله چې پخپله د خپرو ټکو ګراف (scatter plot) د موندنو څپرکي ته ننوځي – او یوازې د محاسبې مخکې د انګېرنو د کتلو لپاره نه کارول کېږي – هغه یو شکل دی، او شکل خپل جوړښت لري: شمېره، په کوږ لیک سرلیک، په دواړو محورونو د متحولونو نومونه، او لاندې یې یادونه. یادونه هېرول اسانه دي، خو همدا هغه برخه ده چې شکل په خپله ولاړ کوي، او APA (2020، برخه 7.28) تشریح کوي چې څه باید ووايي: د اندازه ګیرنې واحدونه، سمبولونه او لنډیزونه چې په تشریح کې نه دي تشریح شوي روښانه کړي، او هر سیوری، رنګ یا بل ډیزاین عنصر چې مانا لري تشریح کړي. د خپرو ټکو په ګراف کې دا په دوو لنډو جملو اوړي – هر ټکی څه ښيي (یو ګډونوال، په دواړو متحولونو کې د هغه د ارزښتونو له مخې) او کرښه څه ده (د خطي رګرسیون کرښه). او که په ګراف کې د تېروتنې نښې یا د باور پټۍ ښودل شوې وي، باید په ښکاره ووایل شي چې ایا معیاري انحرافونه، معیاري تېروتنې، د باور پولې یا ساحې ښيي – او لارښود زیاتوي چې ښه ده د هغوی تر څنګ د نمونې اندازه هم یاده شي (هماغه ځای). د شکل یادونه د جدول د یادونې په بڼه لیکل کېږي، او په هماغه ترتیب – عمومي، ځانګړې، احتمال – او د معناداري ستوري، که وي، د احتمال په یادونه کې دقیقاً لکه د جدول لاندې تشریح کېږي (برخه 7.14).

د دې پاڼې په پایلو کې د خپرو ټکو هر ګراف له داسې د شکل یادونې سره راځي، چې په اتوماتې ډول جوړېږي: هر ټکی څه ښيي او هر متحول په کوم محور دی، کرښه څه ده (او کله چې یوازې Spearman ټاکل شوی وي کرښه نشته – او جمله پرېښودل کېږي)، او د نمونې اندازه د ورکو ارزښتونو سره د چلند له طریقې سره. پخپله ګراف له پردې څخه کاپي کېږي (هغه د Word په فایل کې نه شاملېږي)، او یادونه – د پایلو له جدول څخه.

او دا په R کې څنګه کېږي؟

R د احصایې لپاره وړیا او پرانیستې سرچینې د کار چاپېریال دی، او هماغه تحلیل په هغه کې په څو کرښو کې ترسره کېږي: cor() د همبستګۍ ماتریس (correlation matrix) ورکوي، crossprod(!is.na()) د هرې جوړې N، او cor.test() – د یوې واحدې جوړې لپاره – t، p او د باور واټن (confidence interval) (د Fisher په بدلون، لکه پاڼه). لاندې سکریپټ لکه څنګه چې دی د پاڼې د بېلګې پر فایل وچلول شو (DATA_correlations_example_heb.xlsx، هغه درې متحولونه چې پکې د تلوالې (default) په توګه ټاکل کېږي)، او پایلې – له 1-2 جدولونو او د راپور له جملو سره یو شان – په یادښتونو کې لیکل شوې. په R کې د پښتو لپاره د وېبپاڼې قاعده: UTF-8 فایل، د یادښت هره کرښه په یوې پښتو کلمې پیلېږي، د محاسبې لپاره په انګلیسي لنډ نومونه، او د عبري نومونو لپاره د UTF-8 چاپېریال (په Windows کې: Sys.setlocale("LC_ALL", "Hebrew") یا R 4.2 او پورته). لاره او د متحولونو نومونه په خپلو بدل کړئ؛ په R کې په لاره کې عادي مایل کرښه (/) لیکل کېږي.

# د Pearson او Spearman همبستګۍ – پروفیسور سټاټ. دا فایل په UTF-8 کې خوندي شوی؛ د یادښت هره کرښه په یوې پښتو کلمې پیلېږي
library(readxl)   # د اکسل لوستل

# پورته کول: معیاري کینډۍ – کتار = ګډونوال، ستون = متحول؛ پاڼه "נתונים"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_correlations_example_heb.xlsx", sheet = "נתונים")
d <- d[, c("גיל", "עמדות1", "עמדות_ציון")]              # په پاڼه کې ټاکل شوي متحولونه (د بېلګې د فایل تلواله)
names(d) <- c("age", "att1", "att")                    # په انګلیسي لنډ نومونه

# جدول 1 – د Pearson ماتریس له جوړه ییز لرې کولو سره، درې رقمونه لکه SPSS او لکه په پاڼه کې جدول
round(cor(d, use = "pairwise.complete.obs"), 3)   # همبستګۍ: גיל-עמדות1 .116, גיל-עמדות_ציון .209, עמדות1-עמדות_ציון .684

# په هره جوړه کې د ګډونوالو شمېر (د جوړه ییز لرې کولو N – د جدول یادونه)
crossprod(!is.na(d))                                  # 114, 116, 118 (او په قطر کې: د هر متحول لپاره 116, 118, 120 سمې کتنې)

# جدول 2 – یوه واحده جوړه: r, df, t, p او د Fisher په بدلون 95% د باور واټن (لکه پاڼه)
cor.test(d$age, d$att)                                # r = .209, t(114) = 2.278, p = .0246، د باور واټن [.027, .377] – لکه جدول 2 او د راپور جمله

# د Spearman همبستګي – هماغه ماتریس پر رتبو؛ د یوې جوړې د p لپاره: cor.test(..., method = "spearman", exact = FALSE)
round(cor(d, use = "pairwise.complete.obs", method = "spearman"), 3)   # .095, .226, .669
cor.test(d$age, d$att, method = "spearman", exact = FALSE)   # rho = .226, p = .0145 (د t نږدې والی، لکه SPSS او لکه پاڼه)

په کوډ کې دوه مهم ټکي: د use = "pairwise.complete.obs" ارګومنټ جوړه ییز لرې کول (pairwise deletion) دي – پرته له هغه، د ورکو ارزښتونو په شتون کې R به NA راوګرځوي، او د ټول کتار له لرې کولو سره به پایلې له SPSS سره برابرې نه شي؛ او cor.test د یوې واحدې جوړې لپاره یوازې د هماغې جوړې پر بشپړو کتنو محاسبه کوي (له همدې امله په بېلګه کې df = 114 – 116 ګډونوال چې په دواړو متحولونو کې ارزښت لري). p-value < 2.2e-16 د R نښه ده د هغه ارزښت لپاره چې له هر هغه څه کوچنی دی چې ښيي یې – او په راپور کې p < .001 لیکل کېږي. په Spearman کې، کله چې مساوي رتبې وي، cor.test پرته له exact = FALSE به خبرداری ورکړي "Cannot compute exact p-value with ties" – دا سمه ده: هغه نږدې والي ته اوړي، هماغه نږدې والی چې SPSS او دا پاڼه یې هم کاروي. (اختیاري: د Hmisc کڅوړه د rcorr() سره د ټولو جوړو لپاره r، n او p د SPSS په سبک په یوه پایله کې چاپوي.)

درې واړه وسیلې – SPSS، R او په دې پاڼه کې حساب ماشین – هماغه ضریبونه محاسبه کوي کله چې په هماغه ډول تنظیم شي – جوړه ییز لرې کول او دوه اړخیزه (two-tailed) معناداري: په SPSS او حساب ماشین کې دا تلوالې دي، او په R کې دا په پورته کوډ کې په ښکاره ډول ټاکل شوي. له همدې امله پر هماغه د معلوماتو فایل هماغه پایلې راګرځوي. د دوو وسیلو ترمنځ داسې پرتله دا ډاډ ترلاسه کولو یوه غوره لاره ده چې تحلیل سم ترسره شوی.

د ضریبونو تر شا فورمولونه

په دې برخه کې د فورمولونو د تفصیلي پراختیا لپاره Gravetter & Wallnau (2017، څپرکی 15) وګورئ.

د Pearson ضریب – له معیاري نمرو څخه. د Pearson د پوهېدو تر ټولو روڼه لاره د معیاري نمرو له لارې ده: هر ارزښت په معیاري نمره اړول کېږي – دا چې د خپل متحول له اوسط څخه څو معیاري انحرافه پورته یا لاندې دی، z_x = (x − x) / s_x – او بیا د معیاري نمرو د جوړو حاصل ضربونه جمع کېږي او پر n − 1 وېشل کېږي:

(ولې n − 1؟ ځکه دا هغه وېش دی چې د نمونې په معیاري انحراف s کې دی چې معیاري نمرې ترې جوړې شوې. په هغو کتابونو کې چې معیاري نمرې د احصایوي ټولګې (population) د معیاري انحراف سره تعریفوي، دلته هم پر n وېشل کېږي – تر هغه چې دود په صورت او مخرج کې یو شان وي، r یو شان راوځي.)

منطق: کله چې یوه کتنه په دواړو متحولونو کې له اوسط څخه لوړه وي، دواړه معیاري نمرې مثبتې دي او حاصل ضرب مثبت دی؛ کله چې په یوه کې لوړه او په بل کې ټیټه وي، حاصل ضرب منفي دی. که ډېری حاصل ضربونه مثبت وي – r مثبت راوځي؛ که ډېری یې منفي وي – منفي؛ او کله چې همغږې بڼه نه وي، مثبت او منفي حاصل ضربونه یو بل ختموي او r 0 ته نږدې کېږي.

کوواریانس (Covariance). هماغه مفکورې ته له خامو ارزښتونو څخه هم رسېدای شو: د هرې کتنې لپاره د x له اوسط څخه انحراف د y له اوسط څخه په انحراف ضرب کېږي، حاصل ضربونه جمع کېږي او پر n − 1 وېشل کېږي – د نمونې د معیاري انحراف هماغه دود:

covariance اندازه کوي چې دواړه متحولونه تر کومه حده "یوځای حرکت کوي"، خو په خامو ارزښتونو کې – له همدې امله اندازه یې د اندازه ګیرنې په واحدونو پورې اړه لري (د متر پر ځای په سانتي متر د قد اندازه کول به یې 100 ځله پړسوي). د داسې شاخص د ترلاسه کولو لپاره چې له واحدونو ازاد وي، د دواړو متحولونو پر معیاري انحرافونو وېشل کېږي – او پایله دقیقاً د Pearson ضریب دی:

دا وېش کوواریانس یوې ثابتې ساحې ته معیاري کوي، له ‎-1 تر ‎+1 پورې. د هغو دوو نږدې اصطلاحګانو ترمنځ توپیر ته پام وکړئ چې په پاڼه کې ورسره مخ شوو: covariance په خامو واحدونو کې ګډ بدلون دی، په داسې حال کې چې r² د ګډ واریانس کچه ښيي – یو معیاري شوی (standardized) او بې واحده شاخص. (تخنیکي یادونه: ځینې کتابونه پر n وېشي او ځینې پر n − 1؛ r یو شان راوځي، ځکه هماغه فکتور په صورت او مخرج کې راځي او لنډېږي.)

درې ځانګړتیاوې چې پېژندل یې ښه دي. لومړی، r د متحولونو د خطي بدلون تر اغېز لاندې نه راځي – د ثابت اضافه کول یا په مثبت ثابت ضربول (له سانتي متر څخه متر ته، له نمرو څخه سلنې ته تېرېدل) هېڅ یې نه بدلوي؛ په منفي ثابت ضربول یوازې نښه اړوي، او ځواک |r| ساتل کېږي. دویم، پخپله r د نسبت د مقیاس په توګه نه تفسیرېږي: r = .40 د r = .20 په پرتله "دوه چنده قوي" اړیکه نه ده؛ د ګډ واریانس د مقدارونو د پرتلې لپاره مربعونه پرتله کېږي (.16 د .04 په پرتله). او درېیم، Pearson د کتنو ریښتیني ارزښتونه په پام کې نیسي – د Spearman برعکس، چې یوازې په درجه بندۍ کې د هغوی ځای ویني.

د Spearman ضریب – له رتبو څخه. Spearman یوازې پر درجه بندیو محاسبه کېږي. کله چې مساوي درجه بندۍ نه وي، پېژندل شوی لنډ فورمول کارول کېدای شي:

چې په هغه کې d_i د دواړو متحولونو ترمنځ د i کتنې د رتبو توپیر دی، او n د کتنو شمېر. که دواړه درجه بندۍ بشپړې یو شان وي، ټول توپیرونه 0 دي او r_s = +1 ترلاسه کېږي؛ که په یوه متحول کې درجه بندي په بل کې له درجه بندۍ سره دقیقاً برعکس وي، r_s = -1 ترلاسه کېږي. خام ارزښتونه هېڅ وزن نه لري – یوازې په درجه بندۍ کې ځای.

کوچنۍ بېلګه: پنځه نوماندان په مرکه کې د دوو مرکه کوونکو له خوا درجه بندي شول، او غواړو پوه شو چې درجه بندۍ تر کومه حده یو له بل سره موافقې دي:

یعنې د دواړو مرکه کوونکو ترمنځ لوړه موافقه. په عمل کې د کارولو لپاره مهمه یادونه: کله چې مساوي درجه بندۍ (ties) وي، مساوي کتنو ته د هغوی د رتبو اوسط ورکول کېږي، او بیا لنډ فورمول نور دقیق نه دی. عمومي لاره – چې تل سمه ده – پر رتبو د Pearson ضریب محاسبه کول دي. Spearman په دې پاڼه کې او په SPSS کې هم دقیقاً همداسې محاسبه کېږي، له همدې امله کله چې مساوي درجه بندۍ نه وي دواړه لارې دقیقاً هماغه ارزښت راګرځوي.

د همبستګۍ د معناداري ازموینه. هغه همبستګي چې په نمونه کې موندل شوې لا هم ازموینې ته اړتیا لري: ایا کافي شواهد شته چې په احصایوي ټولګه (population) کې هم شته؟ صفري فرضیه (null hypothesis) دا ده چې په احصایوي ټولګه کې همبستګي نشته (ρ = 0). له r او د نمونې له اندازې n څخه د t ارزښت محاسبه کېږي:

دا ارزښت د t وېش (distribution) لري د df = n − 2 د ازادۍ درجو (degrees of freedom) سره – دا هغه د ازادۍ درجې دي چې د راپور په بڼه r(df) کې ورسره مخ شوو. که ترلاسه شوی د p ارزښت د معناداري له کچې (significance level) څخه کوچنی وي (معمولاً 5%)، صفري فرضیه ردېږي او دا پایله اخیستل کېږي چې په احصایوي ټولګه کې همبستګي شته. فورمول د Pearson لپاره لیکل شوی؛ د Spearman د p ارزښت – په دې پاڼه کې او په SPSS کې هم – په هماغه t نږدې والي محاسبه کېږي، او له همدې امله هغه شرط دی چې پورته د کوچنیو نمونو په اړه یاد شو. فرضیه کېدای شي بې لوري (دوه اړخیزه (two-tailed)) یا لوري لرونکې (یو اړخیزه (one-tailed)) ولیکل شي، د څېړنې د فرضیې له مخې. توپیر کېدای شي پرېکنده وي: د Gravetter & Wallnau په بېلګه کې (2017، مخ 507-509)، د 30 ګډونوالو په نمونه کې د r = .35 همبستګي t(28) = 1.97 ورکوي – داسې ارزښت چې له دوه اړخیزې پولې (2.048) نه اوړي خو له یو اړخیزې پولې (1.701) اوړي. هماغه یوه همبستګي په لوري لرونکې ازموینه کې معناداره ده او په بې لوري ازموینه کې معناداره نه ده؛ له همدې امله د فرضیې لوری مخکې له مخکې، د تیورۍ له مخې ټاکل کېږي، نه د پایلې له لیدلو وروسته. فورمول، د ازادۍ د درجو تشریح او د t ازموینه د Field په اثر کې هم پراخ شوي (2024، برخه 8.2.3).

د Pearson د همبستګۍ لپاره د باور واټن (confidence interval). هغه r چې په نمونه کې موندل شوی یو ټکي اټکل دی، او تر څنګ یې د باور د واټن راپور ورکول هم سپارښتل کېږي. څرنګه چې د r د نمونه اخیستنې وېش متناظر نه دی، واټن د Fisher د بدلون (Fisher z) له لارې محاسبه کېږي: r د z′ ارزښت ته اړول کېږي،

چې معیاري تېروتنه (standard error) یې 1/√(n − 3) ده. د z′ په شاوخوا د 95% د باور واټن جوړېږي (±1.96 معیاري تېروتنې) او پولې یې بېرته د r مقیاس ته اړول کېږي. ترلاسه شوی واټن د r په شاوخوا متناظر نه دی – او دا سمه ده. بېلګه: r = .30 د n = 50 سره د .02 تر .53 پورې د باور واټن ورکوي – یوه عیني یادونه چې په کوچنیو نمونو کې حتی "منځنۍ همبستګي" هم په ډېره ناڅرګندتیا سره اټکل کېږي. د جزئیاتو په جدول او د پاڼې د راپور په جملو کې د باور واټن دقیقاً همداسې محاسبه کېږي (Field، 2024، برخه 8.2.4، معادلې 8.12-8.14؛ د هغه په بېلګه کې – r = .87 د n = 5 سره – واټن [−.05, .99] دی: په ډېره کوچنۍ نمونه کې واټن نږدې بې ګټې دی). په SPSS 27 او پورته کې هماغه واټنونه مستقیم د Bivariate Correlations په کړکۍ کې غوښتل کېدای شي (د Confidence interval تڼۍ؛ پورته وګورئ).

په bootstrap کې د باور واټن. کله چې د نورمالوالي (normality) د انګېرنې د ماتېدو وېره وي، د باور واټن په bootstrap کې هم جوړېدای شي – پخپله له نمونې څخه بیا نمونه اخیستنه (resampling)، د وېش د بڼې په اړه له انګېرنو پرته (خو د خپلواکو کتنو او د داسې نمونې په انګېرنې چې د احصایوي ټولګې استازیتوب وکړي)؛ دا د Spearman د همبستګۍ لپاره د باور واټن منل شوې لاره هم ده. په SPSS کې: د Bivariate په کړکۍ کې د Bootstrap تڼۍ، او دود دا دی چې د باور د واټن د تعصب سمه شوې بڼه (BCa) راپور شي. د bootstrap پایلې له یوې چلونې تر بلې یو څه بدلېږي، ځکه طریقه پر تصادفي نمونه اخیستنې ولاړه ده – دا ځانګړتیا ده، نه خرابي (Field, 2024, Sections 8.4, 6.10.8).

د دوو همبستګیو ترمنځ پرتله. د Fisher بدلون دلته هم کارول کېږي. کله چې همبستګۍ له دوو خپلواکو ډلو څخه راځي (د بېلګې په توګه: ایا د ازموینې د اندېښنې او نمرې ترمنځ اړیکه د نارینه وو او ښځو ترمنځ توپیر لري؟)، هره همبستګي z′ ته اړول کېږي او توپیر ازمویل کېږي:

ترلاسه شوی z له نورمال وېش (normal distribution) سره پرتله کېږي: له 1.96 څخه لوړ مطلق ارزښت د 5% په کچه معنادار توپیر مانا لري (دوه اړخیز). کله چې همبستګۍ له هماغې نمونې څخه راځي (د بېلګې په توګه: ایا x له y سره تر هغه ډېر قوي تړلی دی چې z ورسره تړلی دی؟) پرتله د t په ازموینه د df = N − 3 سره کېږي، چې درې جوړه ییزې همبستګۍ کاروي؛ په SPSS کې د دې لپاره جوړ شوی مېنو نشته (Field, 2024, Section 8.6). او د پام وړ: دا چې یوه همبستګي معناداره راووتله او بله نه – د دې ثبوت نه دی چې دوی یو له بل سره توپیر لري؛ پخپله توپیر باید مستقیم وازمویل شي.

سرچینې

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Anscombe, F. J. (1973). Graphs in statistical analysis. The American Statistician, 27(1), 17-21.

Cohen, J. (1983). The cost of dichotomization. Applied Psychological Measurement, 7(3), 249-253. https://doi.org/10.1177/014662168300700301

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Cohen, J., Cohen, P., West, S. G., & Aiken, L. S. (2003). Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences (3rd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gelman, A., & Hill, J. (2007). Data analysis using regression and multilevel/hierarchical models. Cambridge University Press.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Jamieson, S. (2004). Likert scales: How to (ab)use them. Medical Education, 38(12), 1217-1218. https://doi.org/10.1111/j.1365-2929.2004.02012.x

MacCallum, R. C., Zhang, S., Preacher, K. J., & Rucker, D. D. (2002). On the practice of dichotomization of quantitative variables. Psychological Methods, 7(1), 19-40. https://doi.org/10.1037/1082-989X.7.1.19

Norman, G. (2010). Likert scales, levels of measurement and the "laws" of statistics. Advances in Health Sciences Education, 15(5), 625-632. https://doi.org/10.1007/s10459-010-9222-y

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

د وېبپاڼې د قاعدې له مخې، د سرچینو په لېست کې یوازې هغه سرچینې راځي چې په اصل کې لوستل شوې دي. Field (2024) او Pallant (2020) په بهېدونکې ډیجیټل نسخه کې – د برخې او څپرکي له مخې حواله؛ Gravetter او Wallnau (2017)، Cohen (1988)، Cohen او نور (2003)، Gelman او Hill (2007) او APA (2020) – د چاپي نسخې د مخ او برخې له مخې؛ مقالې (Anscombe, 1973; Cohen, 1983; MacCallum et al., 2002; Jamieson, 2004; Norman, 2010) – د اصلي متن له مخې. په پاڼه کې محاسبه د scipy او R په وړاندې تایید شوې ده.