د تکراري اندازه ګیرنو لپاره ANOVA

د معلوماتو پورته کول

ستونونه مستقیم له پاڼې څخه (د سرلیکونو د کتار په ګډون) پېسټ کېږي – په اکسل کې په نښه کېږي، کاپي کېږي او دلته پېسټ کېږي:

متحولونه او تنظیمات

کله کارول کېږي؟

کله چې همغه ګډونوال ټولو اوسطونو ته ونډه ورکوي: د ازمایښت په ټولو شرایطو کې اندازه کېږي، یا د وخت په څو ټکو کې (Field, 2024, Section 15.2). بېلګې: له پروګرام مخکې، د هغه په پای کې او په تعقیب کې اندېښنه؛ د شور په درې شرایطو کې د غبرګون وخت؛ د همغو خلکو له خوا د همغو توکو درجه بندي. کله چې جلا ډلې هم وي – پروګرام د کنټرول په مقابل کې – ډیزاین ګډ (mixed) دی: د ګډونوالو ترمنځ (between-subjects) عامل او د ګډونوالو دننه عامل (همالته، برخه 16.2). یوازې دوه اندازه ګیرنې – پاڼه محاسبه کوي، خو د جوړه نمونو t ازموینه همغه پرېکړه ورکوي (F = t²; Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 433-435) او سربېره پر دې d او د توپیر لپاره د باور واټن (confidence interval). په هر شرط کې بېلابېلې ډلې – یو لاریز د واریانس تحلیل؛ څو د ګډونوالو ترمنځ عاملونه – د ازمایښتونو ډیزاین.

د معلوماتو جوړښت

پراخه بڼه (wide format)، لکه په SPSS کې: د هر ګډونوال لپاره یو کتار، د هرې اندازه ګیرنې لپاره یو ستون (Field, 2024, Section 15.8.1). په دوو د ګډونوالو دننه عاملونو کې – د هر ترکیب لپاره یو ستون، په هغه ترتیب چې دویم عامل په چټکۍ بدلېږي: (1,1)، (1,2)، (1,3)، (2,1)... – لکه د SPSS په کړکۍ کې لېست (همالته، برخه 15.14). پاڼه د لېست لاندې ښیي چې کوم ستون کوم ترکیب ته ټاکل شوی، او نومونه لکه absent_0, absent_4... په اتوماتيک ډول د کچو په نومونو وېشل کېږي. هغه ګډونوال چې یوه اندازه ګیرنه یې ورکه وي – په بشپړه توګه نه شاملېږي (د ټول کتار لرې کول (listwise deletion)، لکه SPSS)، او پاڼه راپور ورکوي چې څو ګډونوال پرېښودل شول.

منطق: د واریانس وېشل

ټول واریانس د شرایطو ترمنځ واریانس او د شرایطو دننه واریانس ته وېشل کېږي، او بیا – او دا توپیر دی – د شرایطو دننه واریانس بیا وېشل کېږي: یوه برخه یې د ګډونوالو ترمنځ ثابت توپیرونه دي، او هغه له تېروتنې ایستل کېږي (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 420-424). څه چې پاتې کېږي – د شرایطو او ګډونوالو ترمنځ متقابل اغېز (interaction) – د F مخرج دی. هلته په بېلګه کې: د شرایطو ترمنځ SS 84، د ګډونوالو ترمنځ 66 او تېروتنه 22، او F(2, 10) = 19.09 (همالته، مخ 426) – پاڼه همغه شمېرې ورکوي. له همدې امله د ګډونوالو دننه ډیزاین ډېر حساس دی: د Gravetter او Wallnau په عددي بېلګه کې همغه توپیرونه په جلا ډلو کې د 1.91 F او په تکراري اندازه ګیرنو کې 11 ورکوي (همالته، مخ 430-431). په هغه ډیزاین کې چې دوه د ګډونوالو دننه عاملونه لري هر اغېز خپله تېروتنه لري – د اغېز متقابل اغېز له ګډونوالو سره (Maxwell et al., 2018, p. 673).

کرویت او د ε سمون

یو متحوله ازموینه کرویت (sphericity) انګېري: دا چې د هرو دوو اندازه ګیرنو ترمنځ د توپیر واریانس برابر دی (Maxwell et al., 2018, p. 627; Field, 2024, Section 15.5.1). په دوو اندازه ګیرنو کې یو توپیر شته، او انګېرنه تل پوره ده (Maxwell et al., 2018, p. 628). د وخت په اوږدو کې په اندازه ګیرنو کې ډېر ځله ماتېږي – نږدې اندازه ګیرنې تر لرې اندازه ګیرنو ډېره همبستګي لري – او بیا د I ډول تېروتنې (Type I error) کچه د .05 پر ځای .10 یا .15 ته رسېدای شي (همالته، مخ 629-630).

حل: د ازموینې د ازادۍ درجې (degrees of freedom) په ε ضرب کېږي، چې له کرویت څخه د انحراف د اندازې اټکل دی – 1 کله چې پوره وي، او تر 1/(k − 1) پورې په تر ټولو لوی انحراف کې (ibid., p. 630; Field, 2024, Sections 15.5.2, 15.5.4). F پخپله نه بدلېږي، یوازې p. څلور انتخابونه، له لیبرال څخه تر محافظه کار پورې: بې سمونه، Huynh-Feldt، Greenhouse-Geisser او ښکتنۍ پوله. Maxwell او همکاران یې "فکر کوي چې باید هېڅکله ونه کارول شي" هغه ازموینه چې سمون نه وي شوی (2018، مخ 632)، د هغوی عمومي سپارښتنه Greenhouse-Geisser ده، ځکه Huynh-Feldt کېدای شي د تېروتنې کچه ونه ساتي (همالته، مخ 634)، او ښکتنۍ پوله ډېره محافظه کاره ده (همالته). Field (2024، برخه 15.5.4) عامه قاعده هم راوړي – Huynh-Feldt کله چې اټکل له .75 پورته وي – او دا امکان چې د دواړو اوسط واخیستل شي. پاڼه د Greenhouse-Geisser له مخې راپور ورکوي، او بل انتخاب هم کېدای شي.

Mauchly: د کرویت د انګېرنې لپاره د احصایوي معناداري (significance) ازموینه. Field سپارښتنه کوي چې پرې تکیه ونه شي: د نمونې په اندازې پورې اړه لري – په لویه نمونه کې حتی په ناچیز انحراف کې معنادار دی، او په کوچنۍ کې حتی په لوی انحراف کې نامعنادار – نو غوره ده چې تل د ε له مخې سمون وشي (2024، برخه 15.5.2). Maxwell او همکاران یې هم لیکي چې "د مخکېنۍ ازموینې په توګه لږ ارزښت" لري (2018، مخ 629). پاڼه یې ښیي ځکه SPSS یې ښیي.

څو متحوله لاره

بله لاره، چې هېڅ کرویت نه انګېري: k اندازه ګیرنې په k − 1 د توپیر متحولونو بدلې شي او وازمویل شي چې ایا د هغوی ټول اوسطونه صفر دي – څو متحوله د واریانس تحلیل (Maxwell et al., 2018, pp. 728, 741; Field, 2024, Section 15.5.4). SPSS څلور ازموینې چاپوي: Pillai، Wilks، Hotelling او Roy. په خالص د ګډونوالو دننه اغېز کې دوی تل یو شان دي (Maxwell et al., 2018, pp. 832-833)؛ کله چې توپیر ولري، Pillai تر ټولو مقاومه ده (همالته، مخ 829). Pallant (2020، څپرکی 18) تل څو متحوله ازموینه لولي.

کومه غوره ده؟ څو متحوله ازموینه هغه وخت دقیقه ده چې وېش (distribution) نورمال وي، خو په کوچنیو نمونو کې کمزورې ده، او کله چې ګډونوال تر اندازه ګیرنو کم وي ناشونې ده (Maxwell et al., 2018, pp. 775-777). د Algina او Keselman قاعده (1997, as cited in Maxwell et al., 2018, p. 776): څو متحوله کله چې تر 4 پورې اندازه ګیرنې، ε ≤ .90 او لږ تر لږه k + 15 ګډونوال وي، یا 5-8 اندازه ګیرنې، ε ≤ .85 او لږ تر لږه k + 30؛ که نه – یو متحوله د سمون سره. قاعده په احصایوي ټولګه (population) کې ε ته اشاره کوي، او د نمونې له اټکل سره انتخاب "کېدای شي ستونزمن وي" (همالته). په لنډیز کې Maxwell او همکاران څو متحوله لارې ته "لږ برتري" ورکوي (همالته، مخ 778). په پایلو کې "د پایلې تفسیر" دا قاعده ستاسو په معلوماتو محاسبه کوي.

ګډ ډیزاین

کله چې د ګډونوالو ترمنځ عامل هم وي، دوه ډوله ازموینې شته (Maxwell et al., 2018, pp. 691-693). د ګډونوالو ترمنځ اغېز د ډلو دننه د ګډونوالو ترمنځ واریانس پر وړاندې ازمویل کېږي – دا د هر ګډونوال په اوسط د یو لاریز د واریانس تحلیل سره برابر دی، او کرویت پرې اغېز نه کوي (همالته، مخ 692، 706). د ګډونوالو دننه اغېز او متقابل اغېز (interaction) له ډلې سره د ډلو دننه له ګډونوالو سره د د ګډونوالو دننه عامل د متقابل اغېز پر وړاندې ازمویل کېږي. متقابل اغېز معمولاً اصلي پوښتنه ده: ایا د وخت په اوږدو کې بدلون په پروګرام او کنټرول کې توپیر لري؟ لومړی د هغه راپور ورکول کېږي (Pallant, 2020, Chapter 20).

بله انګېرنه: دا چې د اندازه ګیرنو د کوواریانس ماتریسونه (covariance matrices) په ډلو کې برابر دي. ازموینې د هغې د ماتېدو پر وړاندې مقاومې دي کله چې ډلې په اندازه کې برابرې وي (Maxwell et al., 2018, p. 704). SPSS یې په Box's M ازمویي؛ Pallant (2020، څپرکی 20) وړاندیز کوي چې په α = .001 ولوستل شي ځکه ډېره حساسه ده، او Maxwell او همکاران (2018، مخ 840) یې عملي ګټه لږه ګڼي. پاڼه هغه او د هرې اندازه ګیرنې لپاره د Levene ازموینه ښیي.

تقابلونه، جوړه ییزې پرتلې او ساده اغېزونه

د F ازموینه وايي چې توپیر شته، نه دا چې چېرته. د دوام لپاره درې لارې – او یوه یې د پوښتنې له مخې ټاکل کېږي (Field, 2024, Sections 15.9.5, 15.15.3):

پلان شوي تقابلونه (contrasts) – مخکې ټاکل شوې پوښتنې: د وخت په اوږدو کې خطي یا مربعي رجحان (پولینومیال، د SPSS تلواله)، هر شرط د بنسټیز شرط په مقابل کې (ساده)، یا هره کچه د راتلونکې په مقابل کې (تکراري) (همالته، برخه 15.8.2). دلته مهمه ده چې هر تقابل د خپلې تېروتنې سره وازمویل شي – د تقابل د نمرو واریانس – نه د ګډې تېروتنې سره، چې کرویت انګېري؛ تقابلونه د کرویت د ماتېدو پر وړاندې تر ټولیزې ازموینې ډېر حساس دي (Maxwell et al., 2018, pp. 638-639). پاڼه همداسې کوي، او SPSS هم.

جوړه ییزې پرتلې (pairwise comparisons) – د اندازه ګیرنو هره جوړه، د Bonferroni سمون سره. په تکراري اندازه ګیرنو کې همدا سپارښتنه ده، نه Tukey، چې کله کرویت نه وي د تېروتنې کچه نه ساتي (Maxwell et al., 2018, pp. 757-758; Field, 2024, Section 15.5.3).

ساده اغېزونه – کله چې متقابل اغېز (interaction) وي: د یو عامل اغېز د بل په هره کچه کې – د بېلګې په توګه، د وخت په اوږدو کې بدلون په پروګرام کې جلا او په کنټرول کې جلا (Field, 2024, Section 15.15.3). هر داسې اغېز یوه اضافي ازموینه ده؛ Field سپارښتنه کوي چې متقابل اغېز په څومره چې کېدای شي لږو ازموینو وویشل شي او د هغو د شمېر لپاره سمون وشي (همالته).

د اغېز اندازې

SPSS جزئي ایټا مربع (partial eta squared) چاپوي: SS_اغېز/(SS_اغېز + SS_{تېروتنه}) – د ګډونوالو ترمنځ توپیرونه په مخرج کې نشته (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 427). نو لویه ده، او د ګډونوالو ترمنځ څېړنې له ایټا مربع سره د پرتلې وړ نه ده. Maxwell او همکاران (2018، مخ 634-635) اومېګا مربع (omega squared) غوره ګڼي چې د ګډونوالو ترمنځ واریانس په مخرج کې پرېږدي، لکه د ګډونوالو ترمنځ په څېړنه کې – "مطلوب ښکاري چې له پامه ونه غورځول شي" (همالته، مخ 635) – او احصایوي ټولګه اټکلوي نه نمونه. هلته د McCarthy په بېلګه کې: ω² = .04 (همالته)، په داسې حال کې چې د همغو معلوماتو جزئي ایټا مربع .22 ده. پاڼه دواړه ښیي، او اومېګا مربع – په هغو ډیزاینونو کې چې په کتاب کې فورمول لري (یو یا دوه د ګډونوالو دننه عاملونه، یا یو د ګډونوالو ترمنځ عامل سره؛ همالته، معادلې 11.35، 12.6 او 12.22-12.24). د تقابل او جوړه ییزې پرتلې لپاره d محاسبه کېدای شي (د جوړه نمونو t ازموینه).

پایلې (output) څنګه ولولو؟

جدولونه د SPSS په ترتیب: اوسطونه؛ کرویت (Mauchly او ε)؛ د ګډونوالو دننه ازموینې د ټاکل شوي سمون له مخې؛ یو جدول چې p په څلورو لارو پرتله کوي؛ څو متحوله ازموینې؛ په ګډ ډیزاین کې – د ګډونوالو ترمنځ ازموینه، Levene او Box's M؛ تقابلونه؛ څنډه ییز اوسطونه؛ جوړه ییزې پرتلې؛ ساده اغېزونه؛ او ګراف. لومړی متقابل اغېز لوستل کېږي، وروسته اصلي اغېزونه. "د پایلې تفسیر" هغه څه ته اشاره کوي چې ستاسو په حالت کې مهم دي – له کرویت څخه د انحراف اندازه، یو متحوله یا څو متحوله، او متقابل اغېز.

انګېرنې

د عادي واریانس تحلیل انګېرنې – د ګډونوالو ترمنځ خپلواکي، نورمالوالی (normality) (په ځانګړي ډول په کوچنۍ نمونه کې) او د واریانسونو برابري – او یوه نوره: "د کوواریانس همجنسي"، یعنې ګډونوال د شرایطو ترمنځ کم و بیش خپل نسبي ځای ساتي (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 428). په دقیقه بڼه – کرویت (پورته). په ګډ ډیزاین کې – د ډلو ترمنځ برابر ماتریسونه هم (Maxwell et al., 2018, p. 704). کله چې انګېرنې پوره نه وي: په پرې شوو اوسطونو مقاومه ازموینه (rmanova په R کې د WRS2 په بسته کې؛ Field، 2024، برخه 15.10)، د Friedman ازموینه د وروستي حل په توګه (همالته، برخه 15.7)، یا څو کچیز ماډل (همالته، برخه 15.5.4).

او دا په SPSS کې څنګه کېږي؟

Analyze → General Linear Model → Repeated Measures: د ګډونوالو دننه عامل او د کچو شمېر تعریفېږي، ستونونه په ترتیب ځای پر ځای کېږي، او که وي د ګډونوالو ترمنځ عامل زیاتېږي (Field, 2024, Sections 15.8, 16.5; Pallant, 2020, Chapters 18, 20). په Options کې – تشریحات، د اغېز اندازه، او په ګډ ډیزاین کې د همجنسۍ ازموینې؛ په EM Means کې – د Bonferroni سره د اصلي اغېزونو پرتله. اړوند جدول: Tests of Within-Subjects Effects، د Greenhouse-Geisser په کتار کې (Field, 2024, Section 15.9). پاڼه چمتو سینټکس (syntax) ښکته کوي (GLM ... /WSFACTOR). PSPP په GLM کې تکراري اندازه ګیرنې نه چلوي، نو سینټکس په هغه کې نه دی ازمویل شوی.

او دا په R کې څنګه کېږي؟

SPSS ته نږدې لاره: څو متحوله ماډل (lm د غبرګون ماتریس سره) او car::Anova د idata او idesign سره – څو متحوله ازموینې، یو متحوله ازموینې، Mauchly او سمونونه ورکوي؛ emmeans – څنډه ییز اوسطونه او پرتلې. له SPSS سره دوه کوچني توپیرونه: په R کې Mauchly د دویم ترتیب عنصر لري، او د car په بسته کې Huynh-Feldt کله چې ډلې وي په بل سمون محاسبه کېږي. لاندې سکریپټ لکه څنګه چې دی د بېلګې په فایل وچلول شو (ارزښتونه په تبصرو کې).

# د تکراري اندازه ګیرنو لپاره ANOVA په R کې – د پاڼې د بېلګې فایل (36 زده کوونکي، پروګرام/کنټرول × د ازموینې د اندېښنې درې اندازه ګیرنې)
library(car)       # د څو متحوله ماډل لپاره Anova
library(emmeans)   # څنډه ییز اوسطونه او پرتلې
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))   # د III ډول لپاره اړین

d <- data.frame(group = factor(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2), labels = c("program", "control")),
                pre = c(46, 53, 34, 59, 59, 50, 39, 39, 41, 61, 38, 79, 60, 59, 68, 75, 55, 43, 38, 51, 48, 44, 56, 51, 64, 51, 44, 60, 60, 61, 33, 48, 45, 39, 52, 32),
                post = c(48, 34, 39, 48, 53, 42, 32, 27, 25, 41, 44, 65, 54, 59, 51, 67, 39, 38, 40, 46, 47, 59, 45, 54, 64, 55, 55, 64, 50, 56, 30, 39, 46, 43, 50, 30),
                followup = c(34, 45, 27, 42, 55, 43, 41, 42, 40, 55, 45, 67, 55, 57, 51, 70, 44, 36, 37, 51, 53, 52, 54, 64, 78, 50, 49, 62, NA, 53, 37, 53, 47, 47, 51, 30))
d <- na.omit(d)                                     # د ټول کتار لرې کول: 35 پاتې کېږي
fit <- lm(cbind(pre, post, followup) ~ group, data = d)
idata <- data.frame(time = factor(1:3))
av <- Anova(fit, idata = idata, idesign = ~ time, type = 3)
summary(av, multivariate = TRUE)
# وخت (time): F(2, 66) = 5.94, GG eps = .94
# متقابل اغېز (group:time): F(2, 66) = 9.46, p (GG) = .0003
# د متقابل اغېز لپاره Pillai: V = .42, F(2, 32) = 11.50

ml <- list(time = c("pre", "post", "followup"))
pairs(emmeans(fit, ~ time | group, mult.name = "time", mult.levs = ml), adjust = "bonferroni")
# په پروګرام کې: pre - post = 8.44 (p = .0001)

د پایلو راپور ورکول

ډیزاین، کوم سمون چې شوی او ε راپور کېږي، او د هر اغېز لپاره F د سمون شوو ازادۍ درجو (degrees of freedom) سره (د بېلګې په توګه F(1.60, 11.19))، p او د اغېز اندازه (effect size) – او یادېږي چې کومه (Field, 2024, Section 15.12). کله چې څو متحوله ازموینه راپور کېږي – Pillai (V) او د هغې F (همالته؛ Pallant، 2020، څپرکی 18 – هلته Wilks). اوسطونه او معیاري انحرافونه – په جدول کې. په ګډ ډیزاین کې – متقابل اغېز (interaction) لومړی (Pallant, 2020, Chapter 20). پاڼه داسې پاراګراف په پښتو او انګلیسي لیکي.

عامې تېروتنې

د تکراري اندازه ګیرنو تحلیل لکه چې جلا ډلې وي – د ګډونوالو ترمنځ توپیرونه په تېروتنه کې پاتې کېږي، او ازموینه خپله ډېره برتري له لاسه ورکوي (Gravetter & Wallnau, 2017, pp. 430-431).

د هغه کتار لوستل چې سمون یې نه دی شوی – "Sphericity Assumed" – پرته له دې چې کرویت (sphericity) وکتل شي (Maxwell et al., 2018, p. 632).

د Mauchly له مخې د سمون پرېکړه – ازموینه د نمونې په اندازې پورې اړه لري؛ سمون د ε له مخې کېږي (Field, 2024, Section 15.5.2).

د Greenhouse-Geisser او Huynh-Feldt ترمنځ انتخاب وروسته له دې چې ولیدل شي کوم یو معنادار دی – Field (2024، برخه 15.9.3) ښیي چې څنګه په همغو معلوماتو کې یو .063 او بل .048 ورکوي؛ پرېکړه باید مخکې وشي، او مهم شی د اغېز اندازه ده.

Tukey یا تقابلونه د ګډې تېروتنې سره – دواړه کرویت انګېري؛ Bonferroni او د هر تقابل لپاره جلا تېروتنه (Maxwell et al., 2018, pp. 639, 757-758).

د تکراري اندازه ګیرنو د جزئي ایټا مربع پرتله د ګډونوالو ترمنځ څېړنې له ایټا مربع سره – مخرجونه توپیر لري (Gravetter & Wallnau, 2017, p. 427; Maxwell et al., 2018, p. 635).

د کنټرول ډلې پرته د وخت په اوږدو کې له بدلون څخه د علیت پایله اخیستل – د ترتیب اغېزونه لکه تمرین، ستړیا او ستومانتیا کولی شي هغه تشریح کړي (Field, 2024, Section 1.6.5; Gravetter & Wallnau, 2017, p. 430)؛ په شرایطو کې – ترتیب په پچې سره متوازن کړئ (Field، همالته؛ متحولونه، مقیاسونه او د څېړنې ډیزاینونه پاڼه).

سرچینې

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Field, A. (2024). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (6th ed.). SAGE.

Gravetter, F. J., & Wallnau, L. B. (2017). Statistics for the behavioral sciences (10th ed.). Cengage Learning.

Maxwell, S. E., Delaney, H. D., & Kelley, K. (2018). Designing experiments and analyzing data: A model comparison perspective (3rd ed.). Routledge.

Pallant, J. (2020). SPSS survival manual: A step by step guide to data analysis using IBM SPSS (7th ed.). Routledge.

Algina او Keselman (1997) – لکه څنګه چې په Maxwell او همکارانو (2018) کې راغلي؛ Girden (1992) او نور – لکه څنګه چې په Field (2024) کې راغلي. د وېبپاڼې د قاعدې له مخې، د سرچینو په لېست کې یوازې هغه سرچینې راځي چې په اصل کې لوستل شوې. Field (2024) او Pallant (2020) په بهېدونکې ډیجیټل نسخه کې – حواله د برخې او څپرکي له مخې؛ Maxwell او همکاران (2018) او Gravetter او Wallnau (2017) – د چاپي مخ له مخې. د وېبپاڼې دودونه: پراخه بڼه او د ټول کتار لرې کول لکه SPSS؛ په راپور کې Greenhouse-Geisser د تلوالې په توګه؛ Huynh-Feldt په اصلي فورمول لکه SPSS؛ III ډول او بې وزنه څنډه ییز اوسطونه؛ په جدولونو کې له ټکي وروسته دوه رقمونه. محاسبه د R 4.3.3 (car، emmeans) او چاپي شمېرو پر وړاندې تایید شوې: د Maxwell او همکارانو سره – جدولونه 11.5، 12.1، 12.7 او 12.15 (د 12.5، 12.19 او د ε د اټکلونو سره)، 13.2 او 14.9؛ د Gravetter او Wallnau سره – جدول 13.2 او په شکل 13.4 کې د SPSS پایلې؛ او د Field (2024) او Pallant (2020) د SPSS له چاپونو سره په پرتله کې.