د کلسترونو تحلیل (cluster analysis)

د معلوماتو پورته کول

ستونونه مستقیم له پاڼې څخه (د سرلیکونو د کتار په ګډون) پېسټ کېږي – په اکسل کې په نښه کېږي، کاپي کېږي او دلته پېسټ کېږي:

متحولونه او تنظیمات

کله کارول کېږي؟

کله چې پوښتنه د خلکو په اړه وي نه د متحولونو: ایا د ځواب ورکوونکو ترمنځ بېل ډولونه شته – غیر فعال مصرفوونکي د محتوا د جوړوونکو په پرتله، هغه زده کوونکي چې ملاتړ ته اړتیا لري د هغو په پرتله چې نه لري – پرته له دې چې داسې ډلې له مخکې ټاکل شوې وي. Wendler او Gröttrup (2021، مخ 623) د کلسترونو تحلیل (cluster analysis) د څو متحولیزو مېتودونو یوه ټولګه بولي چې "د 'ورته' شیانو د ډلو د پېژندلو لپاره کارول کېږي"، او په بېلګو کې په بازارموندنه کې د پېرودونکو وېشل او د شالید او کړنې له مخې د "ځانګړو اړتیاوو لرونکو زده کوونکو د فرعي ډلو" پېژندل یادوي (مخ 624). تر ټولو مهم توپیر، د هغوی په 7.1 انځور کې: د کلسترونو تحلیل کتارونه (ګډونوال) ډلبندي کوي، او عاملي تحلیل (factor analysis) ستونونه (توکي). که پوښتنه دا وي چې کوم توکي (items) همغه شی اندازه کوي – تاییدي عاملي تحلیل او د بې څارنې زده کړه پاڼه (PCA) او د سپړونکی عاملي تحلیل حساب ماشین؛ که ډلې له مخکې معلومې وي او پوښتنه دا وي چې ایا توپیر لري – د واریانس تحلیل. دلته وړاندوینه کېدونکی متحول نشته او "سم ځواب" نشته: دا بې څارنې زده کړه (unsupervised learning) ده، او "ځکه چې ډلې ته غړیتوب له مخکې نه دی معلوم، الګوریتم د ډلو ځانګړتیاوې نه شي زده کولای" (Wendler & Gröttrup, 2021, p. 627).

د بې څارنې زده کړه (unsupervised learning) پاڼه د کلستر کولو ټول مېتودونه (k-means، سلسله مراتبي، ګاوسي ګډونه، DBSCAN، TwoStep) او دا پوښتنه چې ایا اصلاً کلسترونه (clusters) شته، څېړي. دا پاڼه په پوښتنلیکونو کې یې تر ټولو عام مېتود چلوي: Ward او ورپسې k-means، په کمي متحولونو. کټګوریک متحولونه (categorical variables) (د بېلګې په توګه جنس، د زده کړې څانګه) دلته د واټن په محاسبه کې نه ننوځي؛ هغه وروسته د کلسترونو د تایید او تشریح لپاره کارول کېږي.

منطق: دوه پړاوونه

الف پړاو – راټولوونکی سلسله مراتبي کلستر کول (hierarchical clustering). له هر ګډونوال څخه د یوه جلا کلستر (cluster) په توګه پیل کېږي، او په هر ګام کې دوه تر ټولو نږدې کلسترونه (clusters) یوځای کېږي، تر هغه چې ټول په یوه کلستر کې شي (Hastie et al., 2009, p. 520; Everitt et al., 2011, p. 73). هر پړاو یو تقسیم دی، او ټوله ونه یو ډنډروګرام (dendrogram) دی: "د هر غوټې لوړوالی د هغې د دوو زامنو ترمنځ له نه ورته والي سره متناسب دی"، او د ونې افقي پرې کول په کلسترونو تقسیم ورکوي (Hastie et al., 2009, p. 521). کله چې خبره د ډلو وي، "تر ټولو نږدې" څه معنا لري؟ دا تړنه (linkage) ده (Everitt et al., 2011, pp. 76-77, Figure 4.3): واحده (نږدې جوړه)، بشپړه (لرې جوړه)، اوسط (ټولې جوړې) – او Ward، چې په هغه کې هغه دوه کلسترونه یوځای کېږي چې د یوځای کېدو په صورت کې یې "د کلسترونو دننه د مربعاتو په مجموعه کې زیاتوالی… د ټولو متحولونو په اوږدو کې" تر ټولو کوچنی وي (Ward, 1963، لکه څنګه چې په Everitt et al., 2011، مخ 78، جدول 4.1 کې راغلی؛ او همداسې Wendler & Gröttrup, 2021، مخ 648، جدول 7.24). Ward هغه تړنه ده چې د k-means له موخې سره برابره ده: دواړه همغه شی کموي – د کلسترونو دننه له مرکزونو څخه د واټنونو د مربعاتو مجموعه (sum of squared distances). واحده تړنه د ګډونوالو د "زنځیر" کولو لور ته میل لري چې اوږده کلسترونه جوړوي، او بشپړه – د متراکمو کلسترونو لور ته چې غړي یې ځینې وخت بل کلستر ته نږدې وي (Hastie et al., 2009, pp. 524-525).

ب پړاو – k-means. سلسله مراتبي کلستر کول (hierarchical clustering) یوه جوړښتي نیمګړتیا لري: "یوه ځانګړي کلستر ته د یوه شي ګمارل هېڅکله نه شي بدلېدای" (Wendler & Gröttrup, 2021, p. 628, Table 7.1) – هغه ګډونوال چې وختي له ګاونډي سره یوځای شوی، هلته پاتې کېږي حتی که په پای کې د بل کلستر مرکز ته نږدې وي. k-means دا سموي: د مرکزونو په لرلو سره، هر ګډونوال نږدې مرکز ته ګمارل کېږي؛ د ګمارنې په لرلو سره، هر مرکز د اوسط په توګه محاسبه کېږي؛ او دا تکرارېږي تر هغه چې هېڅ ګمارنه بدله نه شي (Hastie et al., 2009، مخ 510، 14.1 الګوریتم). هر ګام د واټنونو د مربعاتو مجموعه (sum of squared distances) کموي، له همدې امله یوځای کېدل تضمین دي – "خو پایله کېدای شي یو ځایي غیر مطلوب اصغري وي"، او د پیل په ټکي پورې اړه لري (هماغه ځای). دلته دواړه پړاوونه یو بل سره ګوري: Géron (2022, Chapter 9, "Centroid initialization methods") – "که په تصادف سره پوهېږئ چې مرکزونه باید تقریباً چېرته وي (د بېلګې په توګه، که مو مخکې د کلستر کولو بل الګوریتم چلولی وي)، کولای شئ هغه" د پیل د ټکي په توګه "وټاکئ". او همداسې Everitt او همکاران یې (2011، مخ 122): لومړنی تقسیم "کېدای شي د کلستر کولو د بل مېتود د مخکیني چلولو پایله وي، شاید یو له سلسله مراتبي مېتودونو". Kassambara (2017، مخ 163) دې مېتود ته نوم ورکوي – "hierarchical k-means"، یو ګډ مېتود "د k-means د پایلو د ښه کولو لپاره"، چې له دې څخه زېږېدلی چې "د k-means وروستی حل د کلسترونو د مرکزونو لومړني تصادفي انتخاب ته ډېر حساس دی"، او درې ګامونه یې همدا دي: سلسله مراتبي کلستر کول او د ونې پرې کول په k کلسترونو، د هر یوه د ثقل مرکز، او له همدې مرکزونو k-means – په داسې حال کې چې "k-means به لومړنی تقسیم ښه کړي"، او له همدې امله دا "کېدای شي لږ توپیر ولري" له وروستي سره. پاڼه همدا کار کوي: د Ward ونه په k کلسترونو پرې کوي، د هر یوه د ثقل مرکز محاسبه کوي، او له هغو k-means چلوي. پایله ټاکلې (deterministic) ده – همغه معلومات، همغه پایله، په هر چلولو کې – او هغه تصادفي پیل پکې نشته چې Wendler او Gröttrup (2021، مخ 677) یې د Modeler په K-Means کې خبرداری ورکوي، چې له لومړي ریکارډ پیلېږي او له همدې امله "پایله تر یوې اندازې د شیانو په ترتیب پورې اړه لري". له بلې خوا، د پیل یو ټکی هم یو محدودیت دی: "د اصلاح د مېتود پایلې کولای شي د لومړني تقسیم له ټاکلو څخه په بشپړه توګه اغېزمنې شي"، او "ښه دا ده چې د اصلاح الګوریتم څو ځله د بېلابېلو لومړنیو تقسیمونو سره وچلول شي"؛ او که بېلابېل لومړني تقسیمونه ډېرې بېلې ډلبندۍ ورکړي، دا معمولاً نښه ده چې د کلسترونو شمېر غلط دی، یا د کلسترونو لپاره روښانه شواهد نشته (Marriott, 1982, as cited in Everitt et al., 2011, p. 122). پاڼه په دې لوري کې دوه کوچنۍ کتنې راپور کوي – د دواړو پړاوونو ترمنځ پرتله او د یوه واحد لېږد کتنه (لاندې)؛ د ډېرو تصادفي پیلونو څخه چلول – په R کې، له nstart سره.

Wendler او Gröttrup (2021، مخ 628، جدول 7.1) د دواړو کورنیو ګټې او نیمګړتیاوې لنډوي، او دوه پړاویز مېتود له هرې یوې هغه څه اخلي چې پکې ښه ده: له سلسله مراتبي څخه – یوه ونه چې جوړښت په ټولو کچو کې ښيي او یوه "ټاکلې (غیر تصادفي)" پایله، او له k-means څخه – د "شیانو د بیا ګمارلو انعطاف نورو کلسترونو ته". د دواړو پړاوونو ترمنځ پرتله هم یوه کوچنۍ کتنه ده: پاڼه راپور کوي چې څو ګډونوالو په ب پړاو کې کلستر (cluster) بدل کړ او د دواړو تقسیمونو ترمنځ سمون شوی Rand شاخص (ARI) – 1 بشپړه موافقه ده. دا په همغو معلوماتو د الګوریتم کتنه ده، نه په بله نمونه کې د حل د پایښت (stability) – او د دې په اړه په انګېرنې او خبرداري برخه کې.

معیاري کول او واټن

واټن. دواړه مېتودونه د ګډونوالو ترمنځ په اقلیدسي واټن (Euclidean distance) کار کوي – په ټولو متحولونو کې د توپیرونو د مربعاتو د مجموعې جذر، "تر ټولو عام د واټن شاخص" (Everitt et al., 2011, p. 49, Equation 3.4) – او د هغه په مربع، چې "لرې پرتو ارزښتونو (outliers) ته ډېر حساس دی" (Wendler & Gröttrup, 2021, pp. 630, 637). له دې ځایه په پاڼه کې مهمه پوښتنه راوځي: څه په واټن کې ننوځي، او په کوم وزن. Hastie او همکاران یې (2009، مخ 506) وايي چې "د نه ورته والي د مناسب شاخص ټاکل د کلستر (cluster) کولو بریالیتوب ته د کلستر کولو د الګوریتم له انتخاب څخه ډېر مهم دی".

معیاري کول (standardization) – هو، معمولاً. په اقلیدسي واټن (Euclidean distance) کې، هغه متحول چې لویه ساحه (range) ولري، واکمن وي: په ورځ کې ساعتونه (0-12) به د مقیاس نمره (scale score) (1-5) "مړه کړي"، او کلسترونه (clusters) به په حقیقت کې د ساعتونو کلسترونه وي. له همدې امله، لکه څنګه چې Everitt او همکاران یې (2011، مخ 67) لیکي، "معقوله به نه وي چې، فرض کړئ، په کیلوګرام کې وزن، په متر کې لوړوالی او په څلور ټکیز مقیاس کې اندېښنه برابر وګڼل شي"، او "هغه حل چې ډېری وخت وړاندې کېږي… دا دی چې هر متحول له هر تحلیل مخکې واریانس 1 ته معیاري شي"؛ Wendler او Gröttrup (2021، مخ 656-657) – د عددي متحولونو معیاري کول "د کلستر کولو بهیر ته ډېر مهم دی… د دې لپاره چې ارزښتونه د پرتلې وړ وي، باید معیاري شي"؛ او Géron (2022, Chapter 9, "Limits of k-means") – "مهمه ده چې د k-means له چلولو مخکې د ننوتې ځانګړتیاوې پیمانه شي، که نه نو کلسترونه کېدای شي ډېر وغځېږي". په پاڼه کې تلواله (default) z نمرې (z-scores) دي (د هر متحول لپاره اوسط 0 او معیاري انحراف 1)، او بیا هر متحول په واټن کې برابر وزن لري.

معیاري کول (standardization) – نه تل. Hastie او همکاران یې (2009، مخ 506) له دې قاعدې خبرداری ورکوي: ټولو متحولونو ته د برابر اغېز ورکول "که څه هم معقول ښکاري، او ډېری وخت وړاندیز کېږي، کولای شي ډېر زیانمن وي". که یو متحول ډلې ښه سره جلا کړي او بل شور وي، معیاري کول د شور وزن زیاتوي، او "د ډلو د تتې کولو لور ته به میل ولري تر دې حده چې د کلستر (cluster) کولو الګوریتم یې نه شي څرګندولای" – د هغوی په 14.5 انځور کې دوه ښې جلا ډلې له معیاري کولو وروسته ورکېږي. Everitt او همکاران یې (2011، مخ 66-67) همدا خبره داسې کوي: معیاري کول د وزن ورکولو (weighting) یوه ځانګړې بېلګه ده، او "کله چې متحولونه له تحلیل مخکې معیاري کېږي، څېړونکی انګېري چې د یوه متحول اهمیت هر څومره چې د هغه واریانس زیاتېږي، کمېږي"؛ د معیاري انحرافونو له مخې وزنونه "بې اغېزې ښکاري"؛ د متحول پر ساحه (range) وېشل په ډېرو کارونو کې له z نمرو غوره دي (Milligan & Cooper, 1988، لکه څنګه چې هلته راغلي)؛ او غوره دا ده چې د ډلو دننه د واریانس له مخې معیاري شي نه د ټول واریانس له مخې – خو ډلې دقیقاً هغه څه دي چې لټول کېږي. او کله چې ټول متحولونه لا دمخه په یوه مقیاس (scale) کې وي (د بېلګې په توګه د 1-5 مقیاس څلور نمرې)، معیاري کول وزنونه په نمونه کې د معیاري انحرافونو له مخې بدلوي – تل هغه نه چې غوښتل کېږي. پاڼه z نمرې (z-scores) یا اصلي واحدونه وړاندې کوي؛ د ساحې له مخې معیاري کول په پاڼه کې نشته. پرېکړه په متحولونو او پوښتنې پورې اړه لري ("د هرې ستونزې په شرایطو کې د دقیق فکر بدیل نشته"، هماغه ځای)؛ په پاڼه کې "د متحولونو معیاري کول" نښه کېږي یا لرې کېږي، او پایلې ښيي چې څه ټاکل شوي. کله چې معیاري کول بند وي او د متحولونو ساحې ډېر توپیر ولري – پاڼه خبرداری ورکوي.

د Likert مقیاس (Likert scale). واټن انګېري چې د 1 او 2 ترمنځ توپیر د 4 او 5 ترمنځ له توپیر سره برابر دی. Wendler او Gröttrup (2021، مخ 635، جدول 7.8) یادونه کوي چې د Likert په مقیاس کې "واټنونه باید په احتیاط تفسیر شي، یا هېڅ نه"، او دا پوښتنه په ادبیاتو کې د بحث وړ ده. د وېبپاڼې د دود له مخې (متحولونه او د اندازه ګیرنې کچې پاڼه)، د څو توکیز مقیاس (multi-item scale) نمره – د څو توکو اوسط – د فاصله یي متحول (interval variable) په توګه چلند کېږي، او یو واحد د Likert توکی (Likert item) – نه. له دې ځایه وړاندیز: د مقیاسونو د نمرو له مخې کلستر کول (د د Cronbach الفا او د مقیاس نمره پاڼه)، نه د واحدو توکو له مخې.

څو کلسترونه؟

دا په تحلیل کې سخته پرېکړه ده، او د معناداري هېڅ ازموینه نه لري. Hastie او همکاران یې (2009، مخ 518) د دوو حالتونو ترمنځ توپیر کوي: په وېشلو (segmentation) کې، "k معمولاً د ستونزې د یوې برخې په توګه ټاکل کېږي" (یو شرکت له k پلورونکو سره)؛ او کله چې کلستر (cluster) کول د "طبیعي ډلو" تشریح وي، k نه دی معلوم او باید له معلوماتو څخه اټکل شي. پاڼه د هر k لپاره له 1 تر هغه اعظمي شمېر پورې چې تاسو ټاکلی، دوه پړاویز حل چلوي، او درې معیارونه یو د بل تر څنګ چاپوي:

څنګل (elbow). د کلسترونو دننه له مرکزونو څخه د واټنونو د مربعاتو مجموعه (sum of squared distances)، W_k، تل کمېږي هر څومره چې k لوییږي – په پای کې، هر ګډونوال یو کلستر (cluster) دی او W = 0 (Hastie et al., 2009, p. 519). خو که په رښتیا k* ډلې شتون ولري، کمښت به تر k* پورې تېز وي او له هغه وروسته معتدل، ځکه له هغه هاخوا هر اضافي کلستر یوازې یوه طبیعي ډله په دوو وېشي؛ په منحني کې "ماتېدنه" (kink) لټول کېږي – "او د کلستر کولو د نورو بهیرونو په څېر، دا لاره یو څه هیوریستیکه ده" (Hastie et al., 2009, p. 519)؛ Everitt او همکاران یې (2011، مخ 126) زیاتوي چې دا "کېدای شي ډېره ذهني وي"، او "لوی" ډېری وخت "د کاروونکي د مخکینیو تمو تابع" وي. په جدول کې دا د تشریح شوي واریانس (explained variance) په توګه هم ښودل کېږي، 1 − W_k/W₁ – د ټول واریانس هغه برخه چې تقسیم یې تشریح کوي (د R² معادل؛ Wendler & Gröttrup, 2021، مخ 649، جدول 7.25).

سیوری (silhouette). د هر ګډونوال لپاره: a – د هغه د خپل کلستر له غړو څخه منځنی واټن، b – د بل نږدې کلستر له غړو څخه منځنی واټن، او سیوری s = (b − a)/max(a, b)، د 1− او 1+ ترمنځ. Rousseeuw (1987، مخ 56)، چې شاخص یې تعریف کړ: s 1 ته نږدې – ګډونوال "ښه کلستر شوی"؛ د 0 شاوخوا – "منځنۍ قضیه"، چې "هېڅ روښانه نه ده" چې په دوو کلسترونو کې په کوم پورې اړه لري؛ 1− ته نږدې – نږدې ویلای شو چې "غلط ډلبندي شوی". د هغه ګډونوال لپاره چې په کلستر کې یوازې وي سیوری 0 دی – یو انتخاب چې "البته خپلسري دی، خو صفر ارزښت تر ټولو بې طرفه ښکاري" (هماغه ځای). شاخص هغه وخت مناسب دی چې واټنونه د نسبت په مقیاس (scale) کې وي (لکه اقلیدسي واټن) او کله چې "متراکم او په روښانه ډول جلا کلسترونه (clusters) لټول کېږي" (مخ 55)، او د سیوري اوسط "د 'مناسب' کلسترونو د شمېر د ټاکلو لپاره کارېدای شي" (مخ 53). د ټولو ګډونوالو د سیوري اوسط د تقسیم د کیفیت شاخص دی، او هغه k چې تر ټولو لوړ اوسط ولري نوماند دی؛ د حدونو لپاره دوه سرچینې شته چې په عمده توګه موافق دي: Kaufman او Rousseeuw د سیوري له 0.5 پورته اوسط "معقوله ډلبندي" ګڼي (Kaufman & Rousseeuw, 1990، لکه څنګه چې په Everitt et al., 2011، مخ 129 کې راغلي)، او د SPSS Modeler اسناد، لکه څنګه چې Wendler او Gröttrup (2021، مخ 649) راوړي، تر .25 پورې کمزوری، د .25 او .50 ترمنځ منځنی، له .50 پورته ښه درجه بندي کوي (IBM, 2015، لکه څنګه چې په هغوی کې راغلي). سیوری د k = 1 لپاره تعریف شوی نه دی، او له همدې امله نه شي ویلای چې "دلته کلسترونه نشته".

د تشې احصاییه (gap statistic; Tibshirani et al., 2001، لکه څنګه چې په Hastie et al., 2009، مخ 519 کې راغلي) "د log W_k منحني له هغې منحني سره پرتله کوي چې د هغو معلوماتو څخه ترلاسه کېږي چې په یوه مستطیل کې یو شان خپاره وي چې معلومات رانغاړي"، یعنې له هغو معلوماتو څخه چې کلسترونه (clusters) پکې نشته. تشه د دواړو ترمنځ توپیر دی؛ "په حقیقت کې دا د 'ماتېدنې' د موندلو یوه اتوماتيکه لاره ده"، او دا "هغه وخت هم معقول کار کوي چې معلومات په یوه واحد کلستر کې راشي، او په داسې حالت کې به د کلسترونو غوره شمېر یو اټکل کړي – هغه سناریو چې پکې ډېری سیالي مېتودونه ناکامېږي" (هماغه ځای). قاعده (هلته 14.39 معادله): تر ټولو کوچنی k چې پکې تشه د k + 1 له تشې منفي د هغې معیاري تېروتنه (standard error) ټیټه نه وي. پاڼه یو شان معلومات د R په جوړوونکي کې جوړوي (د تلوالې (default) په توګه تخم 2026، 100 نمونې)، نو پایله د cluster په کڅوړه کې د clusGap له پایلې سره چې همغه تخم ولري یو شان ده (د R لارښود لاندې). دا د دریو معیارونو له منځه یوازینی دی چې "یو" ځواب ورکولای شي: Everitt او همکاران یې (2011، مخ 129) ټینګار کوي چې دا "د یوه واحد کلستر د حل د کیفیت ارزونه ممکنه کوي"، یعنې دا پوښتنه چې ایا اصلاً د جلا کلسترونو شواهد شته – او له همدې امله په پایلو کې د k د ټاکلو لپاره تلواله ده.

عمومي وړاندیز دا دی چې "د ډلو د شمېر د ټاکلو لپاره پر یوه قاعده تکیه ونه شي، بلکې د څو تخنیکونو پایلې سره یوځای شي" (Everitt et al., 2011, p. 130) – له همدې امله جدول درې واړه ښيي. کله چې معیارونه سره موافق نه وي – او دا پېښېږي – پرېکړه څېړونکي ته لېږدول کېږي: Géron (2022، څپرکی 9) یوه بېلګه ښيي چې پکې سیوری (silhouette) په لږ توپیر k=4 غوره ګڼي، او هغه 5 ټاکي ځکه کلسترونه (clusters) ورته اندازې لري؛ او Wendler او Gröttrup (2021، مخ 650) یادونه کوي چې "د کلستر کولو مېتودونه د هر کلستر د مناسب تشریح په موندلو کې هېڅ مرسته نه کوي" – هغه حل چې په کلمو نه شي تشریح کېدای ښه حل نه دی، حتی که شاخصونه یې لوړ وي. د ګوتې قاعده √(n/2) (Mardia et al., 1979، لکه څنګه چې په Wendler & Gröttrup, 2021، مخ 649 کې راغلي) د انتخاب لپاره ډېره زیږه ده؛ دا د لوستلو په بکس کې یوازې د حوالې د ټکي په توګه راځي.

پایلې (output) څنګه ولولو؟

جدول 1 – د کلسترونو د شمېر ټاکل. د هر k لپاره: W_k، تشریح شوی واریانس، د سیوري اوسط، تشه او د هغې معیاري تېروتنه. هغه کتار چې د تشې احصاییه (gap statistic) یې ټاکي نښه شوی، او همداسې هغه k چې تر ټولو لوړ سیوری (silhouette) لري. ګراف 1 درې واړه منحني یو د بل تر څنګ ښيي.

د حل لپاره د کلسترونو شمېر. د جدول 1 لاندې k ټاکل کېږي. تلواله (default) د تشې د احصاییې انتخاب دی، او که هغې 1 ټاکلی وي – هغه k چې تر ټولو لوړ سیوری (silhouette) لري، له خبرداري سره. د انتخاب بدلول هر هغه څه چې ورپسې راځي بیا محاسبه کوي، پرته له دې چې د تشې احصاییه (gap statistic) تکرار شي.

ګراف 2 – د الف پړاو ډنډروګرام (dendrogram)، د ټاکل شوي k لپاره د پرې کولو له کرښې سره. عمودي محور د یوځای کېدو لوړوالی دی (د Ward په واټنونو کې): لوړ یوځای کېدنې، د ټیټو یوځای کېدنو د یوه کتار پر سر، د طبیعي کلسترونو نوماندان دي (Hastie et al., 2009, p. 521). SPSS همغه ونه د 0-25 په بیا پیمانه شوي مقیاس ښيي ("Rescaled Distance Cluster Combine"; Wendler & Gröttrup, 2021, p. 645) – بڼه یو شان ده. په هغه نمونه کې چې له 120 ډېر ګډونوال ولري پاڼې یو په یو نه انځورېږي: ونه د خپلو 40 ښکتنیو ډلو پر سر ښودل کېږي، د هرې ډلې د ګډونوالو له شمېر سره.

جدول 2 – د کلسترونو اندازه او کیفیت: د ګډونوالو شمېر او سلنه، په هر کلستر (cluster) کې د سیوري اوسط او د منفي سیوري لرونکو ګډونوالو شمېر (چې بل کلستر ته نږدې دي)، او د ب پړاو مخکې د Ward په کلستر کې اندازه. په یادونه کې: څو ګډونوالو په ب پړاو کې کلستر بدل کړ، او د دواړو پړاوونو ترمنځ سمون شوی Rand شاخص.

جدول 3 – د کلسترونو پروفایل: د هر متحول لپاره – په هر کلستر (cluster) او ټوله نمونه کې اوسط او معیاري انحراف، په اصلي واحدونو کې، او η² – د متحول د واریانس هغه برخه چې د کلسترونو ترمنځ ده. ګراف 3 همغه اوسطونه په معیاري نمرو کې ښيي، نو په یوه کتنه کې لیدل کېږي چې هر کلستر په څه کې له اوسط لوړ یا ټیټ دی. له دې ځایه هغه نوم راوځي چې تاسو به هر کلستر ته ورکړئ، او دا ستاسو تفسیر دی، د محاسبې پایله نه (Wendler & Gröttrup, 2021, p. 650).

ګراف 4 – سیوری (silhouette): د هر ګډونوال لپاره یو ستون، د هر کلستر (cluster) دننه ترتیب شوی – د هر کلستر لپاره "د چاړې بڼه". د بڼې لوړوالی په کلستر کې د ګډونوالو شمېر دی او پلنوالی یې د هغوی سیوري دي؛ هغه کلستر چې ډېری غړي یې له عمومي اوسط (ټکي ټکي کرښه) ښکته وي، کمزوری کلستر دی (Géron, 2022, Chapter 9). د موندنو پاراګراف – په پښتو او انګلیسي؛ د "د پایلې تفسیر" بکس – ایا معیارونه موافق دي؟، د کلسترونو کیفیت، د پړاوونو ترمنځ څه وخوځېدل، او اوس څه وشي. له کلستر ستون سره د معلوماتو ښکته کول – همغه فایل له یوه اضافي ستون سره، په نورو پاڼو کې د تشریح او تایید لپاره.

په بیا نمونه اخیستنه (resampling) کې پایښت (stability) – په یوه کلیک. د سیوري د ګراف لاندې د "پایښت محاسبه" تڼۍ شته (د تلوالې په توګه 100 جوړې او نمونې، د تشې د احصاییې په همغه تخم). جدول 4 د هر k لپاره د دوو bootstrap نمونو د حلونو ترمنځ د سمون شوي Rand شاخص وېش (distribution) ورکوي – اصغري، څلورمې، میانه (median) او اعظمي – او ګراف 5 یې د بکس په ګراف کې ښيي، د هرې جوړې لپاره له یوه ټکي سره. جدول 5 له ټول تقسیم څخه ټاکل شوي حل ته ځي: د هر کلستر (cluster) لپاره – په bootstrap نمونو کې ورته ورته کلستر سره د Jaccard د ورته والي اوسط، څو ځله "ړنګ شو" او څو ځله "بیا راڅرګند شو"، او د Hennig (2023) له مخې تفسیر. د k بدلول یوازې جدول 5 بیا محاسبه کوي. کله چې پایښت محاسبه شو، د موندنو په پاراګراف او د لوستلو په بکس کې هم ننوځي. مېتودونه – په راتلونکې برخه کې.

انګېرنې او خبرداري

الګوریتم تل کلسترونه (clusters) بېرته ورکوي. "د کلستر کولو داسې مېتودونه تل له k ډلو سره راځي، که معلومات هر څه وي" (Rousseeuw, 1987, p. 55): k-means به حتی له بشپړ یو شان معلوماتو څخه چې هېڅ جوړښت نه لري درې کلسترونه بېرته ورکړي؛ او "سلسله مراتبي مېتودونه سلسله مراتبي جوړښت تحمیلوي، که داسې جوړښت په معلوماتو کې په حقیقت کې شتون ولري که نه" (Hastie et al., 2009, p. 522). له همدې امله د تشې احصاییه (gap statistic) د k د ټاکلو لپاره تلواله (default) ده، او له همدې امله د لوستلو بکس هغه وخت خبرداری ورکوي چې سیوری (silhouette) کمزوری وي.

پایښت (stability): ایا حل به په بله نمونه کې بېرته راشي؟ Leisch (2016، مخ 637)، د Hennig او همکارانو د لاسي کتاب د پایښت د ازموینې په څپرکي کې، په هر تقسیم کې د تصادفیت د دوو سرچینو ترمنځ توپیر کوي: نمونه – له احصایوي ټولګې (population) څخه یوه تصادفي فرعي ډله – او الګوریتم، چې "معلومه ده چې پر معلوماتو جوړښت تحمیلوي حتی کله چې هغه ښه جوړښت نه لري" (Dolnicar & Leisch, 2010، لکه څنګه چې هلته راغلي)؛ او له همدې امله "د یوه واحد تقسیم کارول، چې د یوه ځانګړي الګوریتم له یوه واحد محاسبې راوځي، څېړونکي د دې خطر سره مخ کوي چې یو تصادفي حل وکاروي، نه یو د باور وړ حل". دوه پړاویز مېتود د الګوریتم تصادفیت له منځه وړي (تصادفي پیل نشته)، خو د نمونې نه. پایښت په ځانګړې توګه هغه وخت مهم دی چې د تقسیم پر بنسټ پرېکړې کېږي – د بازار په وېشلو کې دا د برخو د ارزونې له شپږو معیارونو څخه یو دی (Wedel & Kamakura, 1998، لکه څنګه چې هلته راغلي، مخ 639) – او د جلا کلسترونو له شتون سره یو شان نه دی: په 28.1 انځور کې په مربع کې پر یو شان معلوماتو د k-means څلور کلسترونه (clusters) ډېر پایښتي دي، او پر دایره – هېڅ پایښتي نه دي (مخ 638). د ازموینې لاره بیا نمونه اخیستنه (resampling) ده: له معلوماتو څخه bootstrap نمونې په پشک ټاکل کېږي، هره یوه کلستر کېږي، او تقسیمونه پرتله کېږي (مخ 639-640)؛ څپرکی درې مېتودونه وړاندې کوي – د وړاندوینې ځواک (Tibshirani & Walther, 2005)، د Jaccard په شاخص د هر کلستر پایښت (Hennig, 2007)، او د bootstrap نمونو د جوړو ترمنځ ARI (Dolnicar & Leisch, 2010؛ ټول لکه څنګه چې هلته راغلي، مخ 641-643) – او پایله اخلي چې "بیا نمونه اخیستنه لوی توپیر راولي، په داسې حال کې چې دقیق مېتود دومره مهم نه دی" (مخ 650). k د پایښت له مخې هم ټاکل کېدای شي، خو په احتیاط: "ډېری وخت دا نه شي ردېدای چې له رښتیني پرته بل تقسیم هم لوړ پایښت ولري" (مخ 639). پاڼه، په یوه کلیک، درېیم او دویم مېتود چلوي.

د ټول تقسیم پایښت (stability) (جدول 4 او ګراف 5). د Dolnicar او Leisch په مېتود کې (2010، لکه څنګه چې په Leisch, 2016، برخه 28.2.3 کې راغلي) د نمونې په اندازه دوه bootstrap نمونې په پشک ټاکل کېږي، هره یوه کلستر کېږي، ټول اصلي ګډونوال په هر یوه کې نږدې مرکز ته ګمارل کېږي، او دواړه ګمارنې د سمون شوي Rand په شاخص پرتله کېږي؛ دا ډېر ځله تکرارېږي، او هره جوړه یو خپلواک ارزښت ورکوي. دا مېتود د نورو دوو "په منځ کې" دی: ټول تقسیم اندازه کوي، خو اجازه ورکوي چې ځینې کلسترونه (clusters)، شاید کوچني، پایښتي نه وي (مخ 642). وېش (distribution) ته، د بکس په ګراف کې، کتل کېږي، او "یو ته نږدې ارزښتونه لوړ پایښت ښيي" (مخ 643). د Leisch په مصنوعي بېلګه کې، د کلسترونو په سم شمېر کې ټول شاخصونه له 1 سره برابر دي، او په غلط شمېر کې وېش کیڼ لوري ته ځي، او ځینې وخت دوه څوکیز وي (مخ 645). په پاڼه کې همغه جوړې د k ټولو ارزښتونو لپاره کارول کېږي، نو د k د ارزښتونو ترمنځ پرتله په همغو نمونو ده.

د هر کلستر پایښت (stability) (جدول 5). د Hennig په مېتود کې (2007, as cited in Leisch, 2016, Section 28.2.2) ټاکل شوی تقسیم ازمویل کېږي، نه په عمومي ډول k (مخ 646): په هره bootstrap نمونه کې هغه ګډونوال اخیستل کېږي چې نمونه شوي، هر یو یو ځل، کلستر کېږي، او د هر اصلي کلستر لپاره په نمونه کې د Jaccard د ورته والي له مخې تر ټولو ورته کلستر لټول کېږي – د ګډو ګډونوالو شمېر پر دواړو کې د ټولو ګډونوالو پر شمېر ویشل شوی. په نمونو کې د ورته والي اوسط د کلستر د پایښت شاخص دی. Hennig (2023)، د clusterboot د فنکشن په اسنادو کې چې هغه یې د fpc په کڅوړه کې لیکلی، د ګوتې قاعدې ورکوي: یو معتبر او پایښتي کلستر باید .75 یا لوړ اوسط ولري؛ د .60 او .75 ترمنځ کلستر په معلوماتو کې یوې بڼې ته اشاره کوي، خو دا چې کوم ګډونوال پکې شامل دي – ډېر شکمن دی؛ له .60 ښکته – باور پرې مه کوئ؛ او "ډېر پایښتی" – .85 یا لوړ. په یوه واحده نمونه کې .50 یا ټیټ ارزښت د کلستر "ړنګېدل" ګڼل کېږي، او دا نظري توجیه لري (Hennig, 2008, as cited in García-Escudero et al., 2016, p. 668). او په همغو اسنادو کې: پایښت د اعتبار (validity) یوازینی معیار نه دی، او حتی یو ډېر سخت مېتود کولای شي پایښتي کلسترونه (clusters) ورکړي چې معتبر نه وي.

د بېلګې په فایل کې (100 جوړې، تخم 2026) جدول 4 دقیقاً هغه څه ښيي چې څپرکی یې تشریح کوي. د k = 3 لپاره د ARI میانه (median) .95 او ښکتنۍ څلورمه .94 – پایښتی. د k = 2 لپاره میانه .87، خو ښکتنۍ څلورمه .33 – وېش (distribution) دوه څوکیز دی، یعنې په دوو کلسترونو دوه بېل تقسیمونه یو له بل سره سیالي کوي. Leisch داسې وېش د "څو ځایي اعظمي ارزښتونو" نښه بولي: په اصلي معلوماتو کې یو ځایي غوره ارزښت کولای شي په bootstrap نمونه کې نړیوال غوره ارزښت وي (مخ 643). له k = 4 څخه میانه ښکته ځي: .76، .62، او په k = 8 کې تر .50 پورې. په جدول 5 کې، د درېیو کلسترونو د Jaccard اوسط .98، .98 او .96 دی – ډېر پایښتي، او هېڅ یو یې په هېڅ نمونه کې ړنګ نه شو. او له څپرکي یو بل خبرداری: k د پایښت (stability) له مخې ټاکل کېدای شي، خو په احتیاط – "ډېری وخت دا نه شي ردېدای چې له رښتیني پرته بل تقسیم هم لوړ پایښت ولري" (مخ 639). په څپرکي کې د ګرځندوی په سروې کې، په 5 تقسیم تر ټولو پایښتی و، خو د هغه برخو روښانه پروفایل نه درلود، له همدې امله ونه ټاکل شو (مخ 648)؛ او په 9 تقسیم کې ځینې کلسترونه (clusters) له نورو ډېر پایښتي وو، او پایښتي یې په زړه پورې وو (مخ 649).

د کلسترونو بڼه. k-means او Ward د ورته اندازې "کروي" کلسترونه غوره ګڼي: "k-means هغه وخت ښه کار نه کوي چې کلسترونه بېلابېلې اندازې، بېلابېل تراکم یا غیر کروي بڼې ولري" (Géron, 2022, Chapter 9, "Limits of k-means")؛ Ward "د ورته اندازې کروي کلسترونو موندلو ته میل لري" او "لرې پرتو ارزښتونو (outliers) ته حساس دی" (Everitt et al., 2011, p. 78, Table 4.1)، "ډېری وخت ښه کار کوي ښکاري، خو کېدای شي هلته کروي جوړښت تحمیل کړي چې نه وي" (مخ 84)، او په سمولیشن څېړنو کې بریالی و کله چې کلسترونه ورته اندازه درلوده او ناکام و کله چې بېلې اندازې یې درلودې (مخ 83)؛ په Ward کې "د کلسترونو اندازې تقریباً ورته دي" (Wendler & Gröttrup, 2021, p. 648)، او k-means "د ورته اندازې کلسترونو جوړولو ته میل لري" (مخ 677). یوه کوچنۍ او رښتیا جلا ډله کېدای شي تېره شي؛ د بیضوي کلسترونو لپاره – ګاوسي ګډون (د بې څارنې زده کړه پاڼه، برخه 4).

لرې پراته ارزښتونه (outliers). یو افراطي ګډونوال یو مرکز ځان ته راکاږي (اوسط) او د مربعاتو مجموعه (sum of squares) زیاتوي؛ په واحده تړنه (linkage) کې لرې پراته ارزښتونه یوازې ګډونوال پاتې کېږي، او په بشپړه کې په کلسترونو کې تېرېږي (Wendler & Gröttrup, 2021, p. 648, Table 7.24). په حل کې د یوه یا دوو ګډونوالو کلستر (cluster) نږدې تل لرې پروت ارزښت دی، نه یو ډول – په لرې پراته ارزښتونه او انګېرنې پاڼه کې وګورئ.

عملي محدودیتونه. ورک ارزښتونه (missing values): د کلستر (cluster) کولو په متحولونو د ټول کتار لرې کول (listwise deletion) (پاڼه خبر ورکوي چې څو پرېښودل شول؛ د بدیلونو لپاره – Hastie et al., 2009، مخ 507، او د ورک ارزښتونه پاڼه). اندازه: تر 3,000 ګډونوالو پورې، ځکه سلسله مراتبي کلستر کول د ګډونوالو د جوړو ترمنځ ټول واټنونه ساتي؛ د تشې احصاییه (gap statistic) ټول تحلیل د حوالې پر هره ټولګه چلوي، له همدې امله په 3,000 ګډونوالو او 100 نمونو کې شاوخوا یوه دقیقه وخت نیسي (د نمونو شمېر کمېدای شي). پایله ټاکلې (deterministic) ده، خو کله چې یو شان ګډونوال یا دقیقاً برابر واټنونه وي (چې د Likert په توکو کې عام دي)، د برابر لوړوالي یوځای کېدنو ترتیب د کتارونو د ترتیب له مخې ټاکل کېږي، لکه په R کې. متحولونه باید کمي وي: یو کټګوریک متحول (categorical variable) په عددي کوډ ورکولو کې (1 = نارینه، 2 = ښځینه) د شمېرې په توګه ننوځي او واټن بې معنا کوي – پاڼه خبرداری ورکوي.

دا پاڼه څه نه محاسبه کوي. نورې تړنې (واحده، بشپړه، اوسط)، نور واټنونه (Manhattan، کوساین)، کټګوریک (categorical) او ګډ متحولونه (TwoStep له لوګ-احتمالیت سره)، ګاوسي ګډونونه او BIC، DBSCAN، د کلسترونو ترمنځ د معناداري ازموینې (په عامو تېروتنو کې یې وګورئ)، د نمونه اخیستنې په نورو مېتودونو پایښت (stability) (د وړاندوینې ځواک، فرعي نمونې، د شور زیاتول)، او اتوماتيک بهرنی تایید – د کلستر (cluster) ستون ښکته کېږي او په کای مربع (chi-square) او د واریانس تحلیل پاڼو کې ازمویل کېږي.

او دا په SPSS کې څنګه کېږي؟

په SPSS Statistics کې دواړه پړاوونه د Analyze › Classify لاندې دوه جلا پروسیجرونه دي. لاندې لارې او اختیارونه د پروګرام په اړه عمومي معلومات دي، لکه د بې څارنې زده کړه (unsupervised learning) په پاڼه کې، برخه 7؛ د پاڼې سرچینې د SPSS Modeler په اړه دي نه د Statistics. (1) معیاري کول (standardization): Analyze › Descriptive Statistics › Descriptives له Save standardized values as variables سره – د Z… په نوم متحولونه جوړېږي. (2) Ward: Hierarchical Cluster د Z پر متحولونو؛ په Method تڼۍ کې – Ward's method له Squared Euclidean distance سره؛ په Plots تڼۍ کې – Dendrogram؛ په Save تڼۍ کې – Single solution له k سره. د SPSS په Agglomeration Schedule جدول کې د Coefficients ستون په R او پاڼه کې د ونې د لوړوالي په مقیاس نه دی، خو د یوځای کېدنو ترتیب باید همغه ترتیب وي، پرته له برابر لوړوالي یوځای کېدنو. (3) k-means: K-Means Cluster پر همغو متحولونو، د کلسترونو له شمېر سره، او له فایل څخه لومړني مرکزونه (Read initial)؛ مرکزونه د Ward د کلستر له مخې د Z د متحولونو د اوسطونو په توګه محاسبه کېږي (Data › Aggregate). پرته له لومړنیو مرکزونو، SPSS هغه پخپله له معلوماتو ټاکي، او پایله کېدای شي د پاڼې له پایلې توپیر ولري.

هغه سینټکس (syntax) چې پاڼه یې جوړوي درې واړه ګامونه ترسره کوي: DESCRIPTIVES /SAVE، CLUSTER له /METHOD WARD /MEASURE SEUCLID او /SAVE CLUSTER(k) سره، او QUICK CLUSTER له /INITIAL سره – د Ward هغه مرکزونه چې پاڼې محاسبه کړي، د شمېرو په توګه ځای پر ځای شوي – او له /METHOD KMEANS(NOUPDATE) سره، یعنې د مرکزونو تازه کول یوازې پر معلوماتو د هر تېرېدو په پای کې، لکه د پاڼې په الګوریتم کې. سینټکس په SPSS کې نه دی چلول شوی. په PSPP کې، یو وړیا پروګرام چې د SPSS سینټکس لولي، یوازې لومړۍ برخه (معیاري کول) ازمویل شوې، ځکه چې هغه د CLUSTER امر نه لري او /INITIAL هم نه لري. سیوری (silhouette)، د تشې احصاییه (gap statistic) او په بیا نمونه اخیستنه (resampling) کې د پایښت (stability) ازموینې SPSS Statistics نه محاسبه کوي – د هغو لپاره R یا پاڼه.

او دا په R کې څنګه کېږي؟

په بنسټیز R کې: scale د معیاري کولو لپاره، hclust(dist(z), method = "ward.D2") د Ward لپاره (ward.D2 په اقلیدسي واټنونو Ward دی؛ زوړ ward.D انګېري چې تاسو هغه لا دمخه مربع کړي)، cutree د پرې کولو لپاره، او kmeans له centers = د Ward مرکزونه او algorithm = "Lloyd" سره – د پاڼې الګوریتم (د R تلواله Hartigan-Wong ده، چې "تضمینوي چې له یوې ډلې څخه بلې ته د یوې کتنې هېڅ واحد لېږد به موخه کمه نه کړي"؛ Hastie et al., 2009، مخ 510. د بېلګې په فایل کې، د k = 2 او 3 لپاره دواړه الګوریتمونه همغه حل ورکوي؛ د لوی k لپاره Hartigan-Wong ځینې وخت داسې حل مومي چې W_k یې لږ کوچنی وي – او پاڼه د لوستلو په بکس کې راپور کوي چې د څو ګډونوالو واحد لېږد به W_k کم کړی وای). همغه مېتود د چمتو فنکشن په توګه: د factoextra په کڅوړه کې hkmeans (Kassambara, 2017, pp. 163-164) – Ward (ward.D2) او ورپسې kmeans، خو د R په تلوالو کې (Hartigan-Wong، او iter.max = 10)؛ د بېلګې په فایل کې دا د k = 2 او 3 لپاره له پاڼې سره یو شان دی، او د لوی k لپاره لږ کوچنی W_k ورکوي. د cluster کڅوړه silhouette او clusGap ورکوي؛ له d.power = 2، spaceH0 = "original" او set.seed سره چې د پاڼې له تخم سره برابر وي – همغه تشه او همغه معیاري تېروتنه (standard error) لکه په جدول 1 کې. د سکریپټ په پای کې – د 4-5 جدولونو دواړه د پایښت (stability) ازموینې: د bootstrap نمونو 100 جوړې د هر k لپاره له ARI سره، او د fpc له کڅوړې clusterboot د کلستر کولو د مېتود په توګه له دوه پړاویز حل سره؛ په همغه تخم دوی دقیقاً د پاڼې ارزښتونه ورکوي. سکریپټ لکه څنګه چې دی د بېلګې پر فایل وچلول شو (ارزښتونه په یادښتونو کې). په R کې د پښتو لپاره د وېبپاڼې قاعده: UTF-8 فایل، د یادښت هره کرښه په یوې پښتو کلمې پیلېږي، او د متحولونو نومونه په انګلیسي (انګلیسي فایل).

# د کلسترونو تحلیل – پروفیسور سټاټ. دا فایل په UTF-8 کې خوندي شوی؛ د یادښت هره کرښه په یوې پښتو کلمې پیلېږي
library(readxl)    # د اکسل لوستل
library(cluster)   # سیوری او د تشې احصاییه
library(mclust)    # سمون شوی Rand شاخص (adjustedRandIndex)
library(fpc)       # د هر کلستر پایښت (clusterboot)

# پورته کول: معیاري کینډۍ – کتار = ګډونوال، ستون = متحول؛ پاڼه "Data"
d <- read_excel("C:/Rdata/DATA_cluster_example_eng.xlsx", sheet = "Data")
v <- c("passive_use", "social_comparison", "content_creation", "social_connection", "daily_hours")
x <- as.data.frame(d[complete.cases(d[, v]), v])           # د ټول کتار لرې کول (148 له 150 څخه)
z <- scale(x)                                             # معیاري کول: z نمرې (وېشونکی n − 1)

# الف پړاو: په اقلیدسي واټنونو Ward – ونه، او د وروستیو یوځای کېدنو لوړوالی
hc <- hclust(dist(z), method = "ward.D2")
rev(tail(hc$height, 5))                                   # لوړوالي: 22.80 17.44 7.15 6.99 5.71 – له درېیم وروسته ټوپ

# ب پړاو: د هر k لپاره – د ونې پرې کول، د ثقل مرکزونه د لومړنیو مرکزونو په توګه، او k-means (Lloyd)
two_stage <- function(z, k, hc = hclust(dist(z), "ward.D2")) {
  w <- cutree(hc, k)
  centers <- apply(z, 2, function(col) tapply(col, w, mean))
  kmeans(z, centers = centers, iter.max = 100, algorithm = "Lloyd")
}
res <- lapply(2:8, function(k) two_stage(z, k, hc))
W   <- c(sum(z^2), sapply(res, function(m) m$tot.withinss))           # W_k، د k = 1 په ګډون
sil <- sapply(res, function(m) mean(silhouette(m$cluster, dist(z))[, "sil_width"]))
round(cbind(k = 1:8, W = W, R2 = 1 - W / W[1], silhouette = c(NA, sil)), 3)   # جدول: R² .365/.575/.605؛ سیوری .337/.371/.274 (k = 2/3/4)

# د تشې احصاییه: همغه فنکشن، د هر متحول په ساحه کې 100 یو شان د حوالې نمونې؛ set.seed = د پاڼې تخم
set.seed(2026)
gap <- clusGap(z, FUNcluster = function(x, k) two_stage(x, k), K.max = 8, B = 100,
               d.power = 2, spaceH0 = "original")
print(gap, method = "Tibs2001SEmax")                      # تشه: k = 3؛ تشه 0.404/0.607/0.863/0.814، SE ≈ 0.035

# ټاکل شوی حل: اندازې، او په اصلي واحدونو کې پروفایل
km <- res[[2]]                                            # k = 3
km$size                                                   # اندازې: 59 51 38
round(aggregate(x, by = list(cluster = km$cluster), FUN = mean), 2)
summary(silhouette(km$cluster, dist(z)))$clus.avg.widths  # د هر کلستر سیوری: .370 .369 .373
d$cluster <- NA; d$cluster[complete.cases(d[, v])] <- km$cluster   # د فایل لپاره د کلستر ستون

# همغه حل په چمتو فنکشن کې: د factoextra په کڅوړه کې hkmeans (Kassambara, 2017، څپرکی 16) – Ward او بیا k-means، خو په Hartigan-Wong
# او پرته له iter.max = 100؛ د بېلګې په فایل کې د k = 2-3 لپاره یو شان، او د k = 4 او پورته لپاره W لږ کوچنی
# factoextra::hkmeans(z, 3)$size                          # 59 51 38

# په بیا نمونه اخیستنه کې پایښت (Leisch, 2016، څپرکی 28) – لکه په پاڼه کې 4-5 جدولونه، په همغه تخم
# (الف) ټول حل (Dolnicar & Leisch, 2010، لکه څنګه چې هلته راغلي): دوه bootstrap نمونې، په هره یوه کې د هر k لپاره کلستر کول، د ټولو اصلي
# ګډونوالو ګمارل په هره یوه کې نږدې مرکز ته، او د دواړو ګمارنو ترمنځ ARI؛ 100 جوړې – د هر k لپاره همغه جوړې
nearest <- function(z, centers) apply(z, 1, function(r) which.min(colSums((t(centers) - r)^2)))
set.seed(2026)
stab <- t(replicate(100, {
  s1 <- z[sample.int(nrow(z), replace = TRUE), ]
  s2 <- z[sample.int(nrow(z), replace = TRUE), ]
  sapply(2:8, function(k) adjustedRandIndex(nearest(z, two_stage(s1, k)$centers), nearest(z, two_stage(s2, k)$centers)))
}))
colnames(stab) <- paste0("k=", 2:8)
round(apply(stab, 2, quantile, c(.25, .5, .75)), 3)       # جدول 4: میانه k=2 .868 (ښکتنۍ څلورمه .333)، k=3 .945 (.939)، k=4 .760، k=5 .621 او تر .503 پورې په k=8 کې
boxplot(stab, xlab = "k", ylab = "ARI")                   # ګراف 5 (پرته له ټکو)

# (ب) هر کلستر (Hennig, 2007، لکه څنګه چې هلته راغلی): د fpc له کڅوړې clusterboot، د کلستر کولو د فنکشن په توګه له دوه پړاویز حل سره
hkm <- function(data, k) {
  cl <- two_stage(as.matrix(data), k)$cluster
  list(result = cl, nc = k, clusterlist = lapply(1:k, function(i) cl == i), partition = cl, clustermethod = "Ward + k-means")
}
cb <- clusterboot(z, B = 100, bootmethod = "boot", clustermethod = hkm, k = 3, seed = 2026, count = FALSE)
round(cb$bootmean, 3)                                     # جدول 5، د Jaccard اوسط: .981 .975 .963
cb$bootbrd; cb$bootrecover                                # ړنګ شو (≤ .50) / بیا راڅرګند شو (> .75)، له 100 څخه: 0 0 0 / 100 100 100

د پایلو راپور ورکول

د کلسترونو په تحلیل کې د څېړونکي ډېرې پرېکړې شته، له همدې امله راپور باید د هغو بیا جوړول ممکن کړي: کوم متحولونه ننوتل او ولې؛ ایا معیاري شول؛ واټن او مېتود (Ward، او ورپسې د Ward له مرکزونو k-means)؛ د کلسترونو شمېر څنګه وټاکل شو – معیارونه او ارزښتونه یې، حتی کله چې سره موافق نه وي؛ د هر کلستر اندازه؛ د پروفایل جدول له اوسطونو او معیاري انحرافونو سره؛ د سیوري اوسط؛ که پایښت (stability) ازمویل شوی وي – مېتود، د نمونو شمېر او پایله؛ او که تایید شوی وي – کلسترونه (clusters) په هغو متحولونو کې چې د هغوی په جوړولو کې یې ګډون نه درلود، په څه کې توپیر لري. APA (2020، برخه 6.43) غواړي چې "دومره معلومات راپور شي چې لوستونکی وکولای شي تحلیلونه تایید کړي". د کلسترونو نومونه ("غیر فعال مصرفوونکي") تفسیر دي، او له هغو اوسطونو سره راپور کېږي چې پر هغو ولاړ دي. د بڼې قاعدې (APA, 2020, Section 6.36): اوسطونه او معیاري انحرافونه له نقطې مخکې له صفر سره، د سیوري اوسط او η² پرته له هغه. په پایلو کې د موندنو پاراګراف همداسې جوړ شوی، په پښتو او انګلیسي.

عامې تېروتنې

په بېلابېلو واحدونو کې د متحولونو معیاري کول هېرول – او د هغه متحول کلسترونه (clusters) ترلاسه کول چې لویه ساحه (range) لري. او پرته له فکره معیاري کول – کله چې یو شور لرونکی متحول د یوه جلا کوونکي متحول وزن ترلاسه کړي (Hastie et al., 2009, p. 506).

د لسګونو واحدو Likert توکو له مخې کلستر کول د مقیاسونو د نمرو پر ځای – پر واحدو توکو واټن د بحث وړ دی (Wendler & Gröttrup, 2021, p. 635)، او د یوه مقیاس (scale) ډېر توکي (items) هغه ته دوه چنده وزن ورکوي.

د "هر څه چې شته" ننویستل، د شالید متحولونو (جنس، عمر) او د پایلې متحولونو په ګډون – او بیا "موندل" چې کلسترونه (clusters) په هغو کې توپیر لري. هغه متحول چې د کلسترونو په جوړولو کې یې ګډون درلود، نه شي کولای هغوی تایید کړي.

د k ټاکل د هغه څه له مخې چې ښه ښکاري پرته د معیارونو له راپور، یا د هغه k ټاکل چې تر ټولو لوړ سیوری (silhouette) لري کله چې هغه .20 وي – یعنې کله چې روښانه جوړښت نشته.

د کلستر کولو پر متحولونو د کلسترونو ترمنځ F یا t ازموینې، او دا راپور چې "کلسترونه (clusters) په معنادار ډول توپیر لري". الګوریتم کلسترونه داسې جوړ کړي چې دقیقاً په همدې متحولونو کې توپیر ولري، له همدې امله معناداري له مخکې تضمین ده او هېڅ معلومات نه زیاتوي. پاڼه η² د توصیفي شاخص په توګه چاپوي، پرته له p.

د ډنډروګرام (dendrogram) تفسیر د "معلوماتو د جوړښت" په توګه. "بېلابېل سلسله مراتبي مېتودونه، او همداسې په معلوماتو کې کوچني بدلونونه، کولای شي ډېر بېل ډنډروګرامونه رامنځته کړي" (Hastie et al., 2009, p. 521).

په یوه چلولو بسنه کول. له یوې نمونې یو تقسیم کېدای شي "یو تصادفي حل وي، نه یو د باور وړ حل" (Leisch, 2016, p. 637)؛ له دې مخکې چې ډولونه راپور شي – په بیا نمونه اخیستنه (resampling) کې پایښت (stability) ازمویل کېږي (4-5 جدولونه).

کلستر (cluster) یوه رښتینې ډله ګڼل – یو ډول چې په احصایوي ټولګه (population) کې شتون لري – پرته له تایید: کلستر د همدې نمونې تشریح ده، له همدې متحولونو او همدې واټن سره (د بې څارنې زده کړه پاڼه، برخه 6).

سرچینې

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). https://doi.org/10.1037/0000165-000

Everitt, B. S., Landau, S., Leese, M., & Stahl, D. (2011). Cluster analysis (5th ed.). Wiley. https://doi.org/10.1002/9780470977811

García-Escudero, L. A., Gordaliza, A., Matrán, C., Mayo-Iscar, A., & Hennig, C. (2016). Robustness and outliers. In C. Hennig, M. Meilă, F. Murtagh, & R. Rocci (Eds.), Handbook of cluster analysis (pp. 653-677). Chapman & Hall/CRC.

Géron, A. (2022). Hands-on machine learning with Scikit-Learn, Keras, and TensorFlow: Concepts, tools, and techniques to build intelligent systems (3rd ed.). O'Reilly Media.

Hastie, T., Tibshirani, R., & Friedman, J. (2009). The elements of statistical learning: Data mining, inference, and prediction (2nd ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-0-387-84858-7

Hennig, C. (2023). fpc: Flexible procedures for clustering (R package version 2.2.11) [Computer software]. https://CRAN.R-project.org/package=fpc

Kassambara, A. (2017). Practical guide to cluster analysis in R: Unsupervised machine learning (Ed. 1). STHDA.

Leisch, F. (2016). Resampling methods for exploring cluster stability. In C. Hennig, M. Meilă, F. Murtagh, & R. Rocci (Eds.), Handbook of cluster analysis (pp. 637-652). Chapman & Hall/CRC.

Rousseeuw, P. J. (1987). Silhouettes: A graphical aid to the interpretation and validation of cluster analysis. Journal of Computational and Applied Mathematics, 20, 53-65. https://doi.org/10.1016/0377-0427(87)90125-7

Wendler, T., & Gröttrup, S. (2021). Data mining with SPSS Modeler: Theory, exercises and solutions (2nd ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-030-54338-9

Ward (1963)، Kaufman او Rousseeuw (1990)، Marriott (1982)، Milligan او Cooper (1988) – لکه څنګه چې په Everitt او نورو (2011) کې راغلي؛ IBM (2015) او Mardia او نور (1979) – لکه څنګه چې په Wendler او Gröttrup (2021) کې راغلي؛ Tibshirani او نور (2001) – لکه څنګه چې په Hastie او نورو (2009) او په Everitt او نورو (2011) کې راغلي؛ Dolnicar او Leisch (2010)، Wedel او Kamakura (1998)، Tibshirani او Walther (2005) او Hennig (2007) – لکه څنګه چې په Leisch (2016) کې راغلي؛ Hennig (2008) – لکه څنګه چې په García-Escudero او نورو (2016) کې راغلی. Hennig (2023) – د clusterboot اسناد (په کڅوړه کې د مرستې پاڼه)، چې په اصل کې لوستل شوي. د وېبپاڼې د قاعدې له مخې، د سرچینو په لېست کې یوازې هغه سرچینې راځي چې په اصل کې لوستل شوې دي. Géron (2022) په ډیجیټل نسخه کې پرته د مخونو له شمېرو – حواله د څپرکي او برخې له مخې؛ Everitt او نور (2011)، Hastie او نور (2009)، Wendler او Gröttrup (2021)، Rousseeuw (1987)، Leisch (2016)، García-Escudero او نور (2016) او Kassambara (2017) – د چاپي مخ له مخې. په پاڼه کې محاسبه د R 4.3.3 (hclust، cutree، kmeans) او د cluster (silhouette، clusGap) او mclust (adjustedRandIndex) کڅوړو په وړاندې تایید شوې، او پایښت (stability) – د R د sample.int او fpc (clusterboot) په وړاندې.